Câu hỏi của Nguyễn Đức Nghĩa

Question

Cho $A=2+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}$

a) Chứng minh rằng: A chia hết cho 3, cho 6

Nguyễn Đăng Nhân · Accepted Answer

a)$A=2+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\Leftrightarrow\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{99}+2^{100}\right)$

$\Leftrightarrow6+2^2\left(2+2^2\right)+2^4\left(2+2^2\right)+...+2^{98}\left(2+2^2\right)$

$\Leftrightarrow6+2^2\cdot6+2^4\cdot6+...+2^{98}\cdot6$

$\Leftrightarrow6\left(1+2^2+2^4+...+2^{98}\right)⋮6$

Mà tổng đó chia hết cho 6 thì cũng chia hết cho 2 và 3

b) $A=2+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}$

$\Leftrightarrow\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7+2^8\right)+...+\left(2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)$

$\Leftrightarrow\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+2^4\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{96}\left(2+2^2+2^3+2^4\right)$

$\Leftrightarrow\left(2+2^2+2^3+2^4\right)\left(1+2^4+...+2^{96}\right)$

$\Leftrightarrow6\cdot5\left(1+2^4+...+2^{96}\right)⋮5$

Mà tổng này chia hết cho cả 2 và 5 hay tổng đó chia hết cho 10 mà số nào chia hết cho 10 cũng tận cùng là chữ số 0

$\Rightarrow$Chữ số tận cùng của A là 0

Câu trả lời: