C thuộc Ox nên C(x;0)

D thuộc Oy nên D(0;y)

A(1;4); B(-2;1); C(x;0)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-1;1-4\right)=\left(-3;-3\right);\overrightarrow{AC}=\left(x-1;0-4\right)=\left(x-1;-4\right)\)

A,B,C thẳng hàng

=>\(\frac{x-1}{-3}=\frac{-4}{-3}\)

=>x-1=-4

=>x=-3

=>C(-3;0)

A(1;4); B(-2;1); D(0;y)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-3;-3\right);\overrightarrow{AD}=\left(0-1;y-4\right)=\left(-1;y-4\right)\)

A,B,D thẳng hàng

=>\(\frac{-1}{-3}=\frac{y-4}{-3}\)

=>y-4=-1

=>y=3

=>D(0;3)

 a) Ta thấy \(\overrightarrow{AB}\left(3;2\right)\) và \(\overrightarrow{AC}\left(4;-3\right)\). Vì \(\dfrac{3}{4}\ne\dfrac{2}{-3}\) nên A, B, C không thẳng hàng.

 b) Ta có \(\overrightarrow{BC}\left(1;-5\right)\) 

 Do vậy \(AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\)

\(AC=\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{4^2+\left(-3\right)^2}=5\)

\(BC=\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{1^2+\left(-5\right)^2}=\sqrt{26}\)

\(\Rightarrow C_{ABC}=AB+AC+BC=5+\sqrt{13}+\sqrt{26}\)

c) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB.

\(\Rightarrow P=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)=\left(-\dfrac{3}{2};3\right)\)

\(N=\left(\dfrac{x_A+x_C}{2};\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)=\left(-1;\dfrac{1}{2}\right)\)

\(M=\left(\dfrac{x_B+x_C}{2};\dfrac{y_B+y_C}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)\)

 d) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì \(G=\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)=\left(-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3}\right)\)

 e) Gọi \(D\left(x_D;y_D\right)\) là điểm thỏa mãn ycbt.

Để ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Leftrightarrow\left(3;2\right)=\left(1-x_D;-1-y_D\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3=1-x_D\\2=-1-y_D\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_D=-2\\y_D=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow D\left(-2;-3\right)\) 

f) Bạn xem lại đề nhé.

Lời giải:
Gọi $G(a,b)$ là trọng tâm tam giác. Ta có:

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow (1-a, 4-b)+(2-a, -3-b)+(1-a, -2-b)=(0,0)$

$\Leftrightarrow (1-a+2-a+1-a, 4-b-3-b-2-b)=(0,0)$

$\Leftrightarrow (5-3a, -1-3b)=(0,0)$

$\Rightarrow 5-3a=0; -1-3b=0$

$\Rightarrow a=\frac{5}{3}; b=\frac{-1}{3}$

b.

Để $A,B,D$ thẳng hàng thì:

$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AD}$ với $k$ là số thực $\neq 0$

$\Leftrightarrow (1,-7)=k(-2, 3m-1)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{-2}=\frac{-7}{3m-1}$

$\Rightarrow m=5$

a) Vì M là trung điểm của AB nên ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}\\y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_M=\dfrac{1+3}{2}\\y_M=\dfrac{1+0}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_M=2\\y_M=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Tọa độ điểm M là \(\left(2;\dfrac{1}{2}\right)\)

Vì N là trung điểm của BC nên ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_N=\dfrac{x_B+x_C}{2}\\y_N=\dfrac{y_B+y_C}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_N=1\\y_N=2\end{matrix}\right.\)

Tọa độ điểm N là \(\left(1;2\right)\)

Vì P là trung điểm CA nên ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_P=\dfrac{x_C+x_A}{2}\\y_P=\dfrac{y_C+y_A}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_P=0\\y_P=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Tọa độ điểm P là \(\left(0;\dfrac{5}{2}\right)\)

b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}\\y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_G=1\\y_G=\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

Tọa độ điểm G là \(\left(1;\dfrac{5}{3}\right)\)

c)\(\overline{MN}=\left(-1;\dfrac{3}{2}\right)\)

\(\overline{NP}=\left(-1;\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\overline{PM}=\left(2;-2\right)\)

cảm ơn vì sự nhiệt tình của bn

Mik đang bận nên chỉ có HD thôi ạ :

-Viết p/t đ/t d ; biểu diễn tọa độ P theo d

- Tính MN ; NP ; MP

- ADCT :  \(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)  ( p = a + b + c / 2 ) 

GPT tìm tọa độ P 

\(\overrightarrow{NM}=\left(3;3\right)\Rightarrow MN=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}\) và đường thẳng MN nhận (1;-1) là 1 vtpt

Phương trình MN: 

\(1\left(x-2\right)-1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x-y=0\)

Do P thuộc (d) nên tọa độ có dạng: \(\left(-8+2t;t\right)\)

\(\Rightarrow d\left(P;MN\right)=\dfrac{\left|-8+2t-t\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{\left|t-8\right|}{\sqrt{2}}\)

\(S_{MNP}=\dfrac{1}{2}.d\left(P;MN\right).MN=18\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left|t-8\right|}{\sqrt{2}}.3\sqrt{2}=18\)

\(\Rightarrow\left|t-8\right|=12\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=20\\t=-4\end{matrix}\right.\) (loại \(t=20\) do P có tung độ âm)

\(\Rightarrow P\left(-16;-4\right)\Rightarrow2a-13b=20\)

a: A(0;6); B(-3;2); C(5;-1)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-3-0;2-6\right)=\left(-3;-4\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(5-0;-1-6\right)=\left(5;-7\right)\)

Vì \(\frac{-3}{5}<>\frac{-4}{-7}\)

nên A,B,C không thẳng hàng

=>A,B,C là ba đỉnh của một tam giác

b: Tọa độ trung điểm M của AB là:

\(\begin{cases}x_{M}=\frac12\cdot\left(x_{A}+x_{B}\right)=\frac12\cdot\left(0-3\right)=-\frac32\\ y_{M}=\frac12\left(y_{A}+y_{B}\right)=\frac12\left(6+2\right)=\frac12\cdot8=4\end{cases}\)

Tọa độ trung điểm N của BC là:

\(\begin{cases}x_{N}=\frac12\cdot\left(x_{B}+x_{C}\right)=\frac12\cdot\left(-3+5\right)=\frac12\cdot2=1\\ y_{N}=\frac12\left(y_{B}+y_{C}\right)=\frac12\cdot\left(2-1\right)=\frac12\end{cases}\)

=>N(1;1/2)

Tọa độ trung điểm P của AC la:

\(\begin{cases}x_{P}=\frac12\cdot\left(x_{A}+x_{C}\right)=\frac12\left(0+5\right)=\frac52\\ y_{P}=\frac12\left(y_{A}+y_{C}\right)=\frac12\left(6-1\right)=\frac52\end{cases}\)

=>P(5/2;5/2)

c: A(0;6); B(-3;2); C(5;-1); D(x;y)

A là trọng tâm của ΔBCD

=>\(\begin{cases}x_{B}+x_{C}+x_{D}=3\cdot x_{A}\\ y_{B}+y_{C}+y_{D}=3\cdot y_{A}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-3+5+x=3\cdot0=0\\ 2-1+y=3\cdot6=18\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-2\\ y=18-1=17\end{cases}\)

=>D(-2;17)

d: A(0;6); B(-3;2); C(5;-1); E(x;y)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-3-0;2-6\right)=\left(-3;-4\right)\) ; \(\overrightarrow{CE}=\left(x-5;y+1\right)\)

ABEC là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CE}\)

=>x-5=-3 và y+1=-4

=>x=2 và y=-5

=>E(2;-5)