a: A(3;1); B(-1;-1); C(6;0)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-1-3;-1-1\right)=\left(-4;-2\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(6-3;0-1\right)=\left(3;-1\right)\)

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\left(-4\right)\cdot3-\left(-2\right)\cdot\left(-1\right)=-12-2=-14\)

b: \(cosBAC=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot\left|\overrightarrow{AC}\right|}\)

\(=\frac{-14}{\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-2\right)^2}\cdot\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{-14}{\sqrt{20\cdot10}}=-\frac{14}{\sqrt{200}}=\frac{-14}{10\sqrt2}=\frac{-7}{5\sqrt2}\)

=>\(\sin BAC=\sqrt{1-\frac{49}{50}}=\sqrt{\frac{1}{50}}=\frac{1}{5\sqrt2}\)

\(AB=\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-2\right)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5\)

\(AC=\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{10}\)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC\)

\(=\frac12\cdot2\sqrt5\cdot\sqrt{10}\cdot\frac{1}{5\sqrt2}=\frac{\sqrt{50}}{5\sqrt2}=1\)

c: H là trực tâm của ΔABC

=>BH⊥AC và CH⊥AB

H(x;y); B(-1;-1); C(6;0)

=>\(\overrightarrow{BH}=\left(x+1;y+1\right);\overrightarrow{CH}=\left(x-6;y-0\right)=\left(x-6;y\right)\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-4;-2\right);\overrightarrow{AC}=\left(3;-1\right)\)

BH⊥AC nên \(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

=>3(x+1)+(-1)(y+1)=0

=>3x+3-y-1=0

=>3x-y+2=0

=>y=3x+2

CH⊥AB nên \(\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}=0\)

=>-4(x-6)+(-2)y=0

=>-4x+24-2y=0

=>-4x-2y+24=0

=>-2x-y+12=0

=>-2x-3x-2+12=0

=>-5x+10=0

=>-5x=-10

=>x=2

=>y=3x+2=8

=>H(2;8)

d: Tọa độ trọng tâm G là:

\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\left(3-1+6\right)=\frac13\cdot8=\frac83\\ y_{G}=\frac13\cdot\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\cdot\left(1-1+0\right)=0\end{cases}\)

=>G(8/3;0)

a: \(\overrightarrow{AB}=\left(-4;2\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(6;-3\right)\)

Vì \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\) nên ΔABC vuông tại B

B A D D C H K M I

Ta có \(HK\perp BC,K\in BC;\overrightarrow{HK}=\left(0;-2\right)\Rightarrow y-1=0\)

Gọi M là trung điểm của BC ta có phương trình \(x+3=0;M=IM\cap BC\Rightarrow M\left(-3;1\right)\)

Gọi D là điểm đối xứng của A qua I chỉ ra BHCD là hình bình hành. Khi đó M là trung điểm của HD, suy ra D(-5;-1).

I là trung điểm của AD, suy ra A(-1;7)

\(AI=\sqrt{20}\), phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là : \(\left(x+3\right)^2+\left(y-3\right)^2=20\)

Tọa độ điểm B, C là nghiệm của hệ phương trình :

\(\begin{cases}y-1=0\\\left(x+3\right)^2+\left(y-3\right)^2=20\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x=-7\\y=1\end{cases}\)

Vậy ta có \(B\left(1;1\right),C\left(-7;1\right)\) hoặc \(B\left(-7;1\right),C\left(1;1\right)\)

Suy ra \(A\left(-1;7\right);B\left(1;1\right),C\left(-7;1\right)\)

   hoặc\(A\left(-1;7\right);B\left(-7;1\right),C\left(1;1\right)\)

a: A(5;3); B(-2;-1); C(-1;5)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-5;-1-3\right)=\left(-7;-4\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(-1+2;5+1\right)=\left(1;6\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-1-5;5-3\right)=\left(-6;2\right)\)

\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7+2\cdot1;-4+2\cdot6\right)\)

=>\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-5;8\right)\)

=>\(\left(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{AC}=\left(-5\right)\cdot\left(-6\right)+2\cdot8=30+16=46\)

\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7-2\cdot1;-4-2\cdot6\right)\)

=>\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9;-16\right)\)

=>\(\left(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9\right)\cdot1+\left(-16\right)\cdot6=-9-96=-105\)

b: Tọa độ trọng tâm của ΔABC là:

\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\left(5-2-1\right)=\frac23\\ y_{G}=\frac13\cdot\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\cdot\left(3-1+5\right)=\frac13\cdot7=\frac73\end{cases}\)

c: Gọi H(x;y) là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC và BH⊥AC

=>\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0;\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

A(5;3); H(x;y); B(-2;-1); C(-1;5)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-6;2\right);\overrightarrow{BH}=\left(x+2;y+1\right)\)

\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

=>-6(x+2)+2(y+1)=0

=>-3(x+2)+y+1=0

=>-3x-6+y+1=0

=>y-3x-5=0

=>y=3x+5

\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right);\overrightarrow{AH}=\left(x-5;y-3\right)\)

\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)

=>1(x-5)+6(y-3)=0

=>x-5+6y-18=0

=>x+6y-23=0

=>x+6y=23

=>x+6(3x+5)=23

=>x+18x+30=23

=>19x=-7

=>x=-7/19

=>\(y=3x+5=3\cdot\frac{-7}{19}+5=-\frac{21}{19}+5=\frac{-21+95}{19}=\frac{74}{19}\)

=>H(-7/19;74/19)

d: AH⊥BC

nên AH sẽ đi qua A và AH nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường cao AH là:

1(x-5)+6(y-3)=0

=>x-5+6y-18=0

=>x+6y-23=0

\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (-6;1)

Phương trình BC là:

-6(x+2)+1(y+1)=0

=>-6x-12+y+1=0

=>-6x+y-11=0

=>y=6x+11

x+6y-23=0

=>x+6(6x+11)-23=0

=>x+36x+66-23=0

=>37x=-43

=>\(x=-\frac{43}{37}\)

=>\(y=6x+11=6\cdot\frac{-43}{37}+11=\frac{149}{37}\)

=>Tọa độ chân đường cao kẻ từ A xuống BC là K(-43/37;149/37)

e: \(AB=\sqrt{\left(-7\right)^2+\left(-4\right)^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}\)

\(BC=\sqrt{1^2+6^2}=\sqrt{37}\)

\(AC=\sqrt{\left(-6\right)^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)

Xét ΔABC có \(cosBAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(=\frac{65+40-37}{2\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}}=\frac{68}{4\sqrt{650}}=\frac{17}{\sqrt{650}}\)

=>\(\sin BAC=\sqrt{1-\left(\frac{17}{\sqrt{650}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{289}{650}}=\sqrt{\frac{361}{650}}=\frac{19}{\sqrt{650}}\)

Diện tích tam giác BAC là:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC\)

\(=\frac12\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}\cdot\frac{19}{\sqrt{650}}=19\)

a: A(5;3); B(-2;-1); C(-1;5)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-5;-1-3\right)=\left(-7;-4\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(-1+2;5+1\right)=\left(1;6\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-1-5;5-3\right)=\left(-6;2\right)\)

\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7+2\cdot1;-4+2\cdot6\right)\)

=>\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-5;8\right)\)

=>\(\left(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{AC}=\left(-5\right)\cdot\left(-6\right)+2\cdot8=30+16=46\)

\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7-2\cdot1;-4-2\cdot6\right)\)

=>\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9;-16\right)\)

=>\(\left(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9\right)\cdot1+\left(-16\right)\cdot6=-9-96=-105\)

b: Tọa độ trọng tâm của ΔABC là:

\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\left(5-2-1\right)=\frac23\\ y_{G}=\frac13\cdot\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\cdot\left(3-1+5\right)=\frac13\cdot7=\frac73\end{cases}\)

c: Gọi H(x;y) là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC và BH⊥AC

=>\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0;\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

A(5;3); H(x;y); B(-2;-1); C(-1;5)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-6;2\right);\overrightarrow{BH}=\left(x+2;y+1\right)\)

\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

=>-6(x+2)+2(y+1)=0

=>-3(x+2)+y+1=0

=>-3x-6+y+1=0

=>y-3x-5=0

=>y=3x+5

\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right);\overrightarrow{AH}=\left(x-5;y-3\right)\)

\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)

=>1(x-5)+6(y-3)=0

=>x-5+6y-18=0

=>x+6y-23=0

=>x+6y=23

=>x+6(3x+5)=23

=>x+18x+30=23

=>19x=-7

=>x=-7/19

=>\(y=3x+5=3\cdot\frac{-7}{19}+5=-\frac{21}{19}+5=\frac{-21+95}{19}=\frac{74}{19}\)

=>H(-7/19;74/19)

d: AH⊥BC

nên AH sẽ đi qua A và AH nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường cao AH là:

1(x-5)+6(y-3)=0

=>x-5+6y-18=0

=>x+6y-23=0

\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (-6;1)

Phương trình BC là:

-6(x+2)+1(y+1)=0

=>-6x-12+y+1=0

=>-6x+y-11=0

=>y=6x+11

x+6y-23=0

=>x+6(6x+11)-23=0

=>x+36x+66-23=0

=>37x=-43

=>\(x=-\frac{43}{37}\)

=>\(y=6x+11=6\cdot\frac{-43}{37}+11=\frac{149}{37}\)

=>Tọa độ chân đường cao kẻ từ A xuống BC là K(-43/37;149/37)

e: \(AB=\sqrt{\left(-7\right)^2+\left(-4\right)^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}\)

\(BC=\sqrt{1^2+6^2}=\sqrt{37}\)

\(AC=\sqrt{\left(-6\right)^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)

Xét ΔABC có \(cosBAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(=\frac{65+40-37}{2\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}}=\frac{68}{4\sqrt{650}}=\frac{17}{\sqrt{650}}\)

=>\(\sin BAC=\sqrt{1-\left(\frac{17}{\sqrt{650}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{289}{650}}=\sqrt{\frac{361}{650}}=\frac{19}{\sqrt{650}}\)

Diện tích tam giác BAC là:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC\)

\(=\frac12\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}\cdot\frac{19}{\sqrt{650}}=19\)

a) Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right);\overrightarrow{BC}=\left(-1;-5\right)\) 

Do \(2:\left(-1\right)\ne2:\left(-5\right)\) nên A, B, C không thẳng hàng hay A, B, C là ba đỉnh của một tam giác

b)

- Gọi \(G\left(x_1;y_1\right)\) là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó \(x_1=\frac{1+3+3}{3}=2\) và \(y_1=\frac{2+4+\left(-1\right)}{3}=\frac{5}{3}\)

Suy ra \(G\left(2;\frac{5}{3}\right)\)

- Gọi \(H\left(x_2,y_2\right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Khi đó H thỏa mãn :

\(\begin{cases}AH\perp BC\\CH\perp AB\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0\end{cases}\)

Từ đó, ta có hệ 

\(\begin{cases}x_2+5y_2-6=0\\x_2+y_2-1=0\end{cases}\)

Giải hệ thu được ( \(x_2;y_2\)) \(=\left(-\frac{3}{4};\frac{7}{4}\right)\) do đó \(H\left(-\frac{3}{4};\frac{7}{4}\right)\)

- Gọi \(I\left(x_3,y_3\right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,

do \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IH}\) nên ta có hệ :

\(\begin{cases}1-x_3+3-x_3+2-x_3=-\frac{3}{4}-x_3\\2-y_4+4-y_3-1-y_3=\frac{7}{4}-y_3\end{cases}\)

Giải hệ ta thu được \(\left(x_3,y_3\right)=\left(\frac{27}{8};\frac{13}{8}\right)\)

Do đó \(I\left(\frac{27}{8};\frac{13}{8}\right)\)

a: vecto AB=(-7;1)

vecto AC=(1;-3)

vecto BC=(8;-4)

b: \(AB=\sqrt{\left(-7\right)^2+1^2}=5\sqrt{2}\)

\(AC=\sqrt{1^2+\left(-3\right)^2}=\sqrt{10}\)

\(BC=\sqrt{8^2+\left(-4\right)^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)

Lời giải:

Gọi \(B(a,b)\) và \(C(c,d)\)

Ta có \(\overrightarrow {HA}=(0,4)\perp \overrightarrow{BC}=(c-a,d-b)\Rightarrow 4(d-b)=0\rightarrow b=d\)

Thay \(d=b\):

\(\overrightarrow{HB}=(a-1,b-2)\perp \overrightarrow{AC}=(c-1,b-6)\)

\(\Rightarrow (a-1)(c-1)+(b-2)(b-6)=0\)

Lại có \(IA^2=IB^2=IC^2\leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-2\right)^2+\left(b-3\right)^2=10\\\left(c-2\right)^2+\left(b-3\right)^2=10\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (a-2)^2=(c-2)^2\rightarrow a+c=4\) ( \(a\neq c\) )

Ta thu được

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-2\right)^2+\left(b-3\right)^2=10\\\left(3-a\right)\left(a-1\right)+\left(b-2\right)\left(b-6\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} a^2+b^2-4a-6b+3=0\\ -a^2+4a+b^2-8b+9=0\end{matrix}\right.\Rightarrow 2b^2-14b+12=0\rightarrow b=1\)

hoặc \(b=6\)

Thay vào PT suy ra \(\left[{}\begin{matrix}-a^2+4a+2=0\\-a^2+4a-3=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2+\sqrt{6}\\a=1;a=3\end{matrix}\right.\)

Vậy.....

cj em nói cj này giỏi thiệt còn em k bit j