cho a1, a2, ..., a2017 là các số tự nhiên thỏa mãn \(\frac{1}{a1_{ }^2}+\frac{1}{a2^2}+...+\frac{1}{a_{ }2017^2}>4\)     chứng minh rằng trong 2017 số trên tồn tại ít nhất 4 số bằng nhau

Cho dãy số a₁,a₂,a_3,...sao cho:

a₂=\(\frac{a_1-1}{a_1+1}\)

a₃=\(\frac{a_2-1}{a_2+1}\)

a_n=\(\frac{a_{n-1}-1}{a_{n-1}+1}\)

Tính tổng 5 số hạng đầu tiên biết a₂₀₁₇=7

Với mỗi số nguyên dương n ta ký hiệu a_n là số nguyên gần \(\sqrt{n}\) nhất. Ví dụ: a₁=1; a₂=1; a₃=2; a₄=2; a₅=2; a₆=2; a₇=3. Tính giá trị của tổng: \(S=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2017}}+\frac{1}{a_{2018}}\)

Cho 100 số tự nhiên a₁,a₂,...,a₁₀₀ thỏa mãn điều kiện:

                 \(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}=19\)

Chứng minh rằng trong 100 số tự nhiên, tồn tại hai số bằng nhau

1) Cho ba số tự nhiền a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2=20c+2\).Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên chỉ toàn chữ số 1 chia hết cho ab

Cho 2015 số nguyên dương a₁,a₂,a₃,...a₂₀₁₅ thỏa mãn điều kiện  \(\frac{1}{\sqrt{a_1}}\)  +   \(\frac{1}{\sqrt{a_2}}\) + \(\frac{1}{\sqrt{a_3}}\)  + ...+ \(\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\)  lớn hơn hoặc bằng 89. CMR: trong 2015 số nguyên dương đó, luôn tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau.

Chứng minh tồn tại 2013 số nguyên đương a₁ ; a₂ ; a₃ ; ....... ; a₂₀₁₃

Sao cho : a₁ < a₂ < a₃ < ...... < a₂₀₁₃

và \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+.....+\frac{a}{a_{2013}}=1\)

cho các số nguyên dươnga₁,a₂,...a₂₀₁₅ thỏa mãn: \(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+......+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\ge89\)

cmr: luôn có ít nhất 2 số bằng nhau