\(\overrightarrow{KA}=-\overrightarrow{AK}=-\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{KA}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}\)

\(=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

a: vecto AB=(-3;-4)

vecto AC=(3;-2)

Vì -3/3<>-4/2-2

nên A,B,C là ba đỉnh của 1 tam giác

b: Tọa độ G là:

x=(2-1+5)/3=2 và y=(3-1+1)/3=2

=>G(2;2) và A(2;3)

Tọa độ I là:

x=(2+2)/2=2 và y=(2+3)/2=2,5

c: K thuộc Oy nên K(0;y)

vecto AI=(0;-0,5); vecto AK=(-2;y-3)

Theo đề, ta có:

0/-2=-0,5/y-3

=>-0,5/y-3=0

=>Ko có K thỏa mãn

a)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2 - 1;4 - 3} \right) = \left( {1;1} \right),\;\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3 - 1;2 - 3} \right) = \left( { - 4; - 1} \right)\)

Hai vectơ này không cùng phương (vì \(\frac{1}{{ - 4}} \ne \frac{1}{{ - 1}}\)).

Do đó các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

b) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là \(\left( {\frac{{1 + 2}}{2};\frac{{3 + 4}}{2}} \right) = \left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right)\)

c) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là \(\left( {\frac{{1 + 2 + \left( { - 3} \right)}}{3};\frac{{3 + 4 + 2}}{3}} \right) = \left( {0;3} \right)\)

d) Để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD thì \(\left( {0;0} \right) = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_D}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_D}}}{3}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {\frac{{1 + 2 + x}}{3};\frac{{3 + 4 + y}}{3}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {1 + 2 + x;3 + 4 + y} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {x + 3;y + 7} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = x + 3\\0 = y + 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - 7\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tọa độ điểm D là (-3; -7).

a: A(0;6); B(-3;2); C(5;-1)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-3-0;2-6\right)=\left(-3;-4\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(5-0;-1-6\right)=\left(5;-7\right)\)

Vì \(\frac{-3}{5}<>\frac{-4}{-7}\)

nên A,B,C không thẳng hàng

=>A,B,C là ba đỉnh của một tam giác

b: Tọa độ trung điểm M của AB là:

\(\begin{cases}x_{M}=\frac12\cdot\left(x_{A}+x_{B}\right)=\frac12\cdot\left(0-3\right)=-\frac32\\ y_{M}=\frac12\left(y_{A}+y_{B}\right)=\frac12\left(6+2\right)=\frac12\cdot8=4\end{cases}\)

Tọa độ trung điểm N của BC là:

\(\begin{cases}x_{N}=\frac12\cdot\left(x_{B}+x_{C}\right)=\frac12\cdot\left(-3+5\right)=\frac12\cdot2=1\\ y_{N}=\frac12\left(y_{B}+y_{C}\right)=\frac12\cdot\left(2-1\right)=\frac12\end{cases}\)

=>N(1;1/2)

Tọa độ trung điểm P của AC la:

\(\begin{cases}x_{P}=\frac12\cdot\left(x_{A}+x_{C}\right)=\frac12\left(0+5\right)=\frac52\\ y_{P}=\frac12\left(y_{A}+y_{C}\right)=\frac12\left(6-1\right)=\frac52\end{cases}\)

=>P(5/2;5/2)

c: A(0;6); B(-3;2); C(5;-1); D(x;y)

A là trọng tâm của ΔBCD

=>\(\begin{cases}x_{B}+x_{C}+x_{D}=3\cdot x_{A}\\ y_{B}+y_{C}+y_{D}=3\cdot y_{A}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-3+5+x=3\cdot0=0\\ 2-1+y=3\cdot6=18\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-2\\ y=18-1=17\end{cases}\)

=>D(-2;17)

d: A(0;6); B(-3;2); C(5;-1); E(x;y)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-3-0;2-6\right)=\left(-3;-4\right)\) ; \(\overrightarrow{CE}=\left(x-5;y+1\right)\)

ABEC là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CE}\)

=>x-5=-3 và y+1=-4

=>x=2 và y=-5

=>E(2;-5)

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2+2x-m+1=x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-m=0\left(1\right)\)

\(\left(d\right),\left(P\right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi phương trình \(\left(1\right)\) có hai nghiệm phân biệt 

\(\Leftrightarrow\Delta=4m+1>0\Leftrightarrow m>-\dfrac{1}{4}\)

Phương trình \(\left(1\right)\) có hai nghiệm phân biệt \(x=\dfrac{-1\pm\sqrt{4m+1}}{2}\)

\(x=\dfrac{-1+\sqrt{4m+1}}{2}\Rightarrow y=\dfrac{1+\sqrt{4m+1}}{2}\Rightarrow A\left(\dfrac{-1+\sqrt{4m+1}}{2};\dfrac{1+\sqrt{4m+1}}{2}\right)\)

\(x=\dfrac{-1-\sqrt{4m+1}}{2}\Rightarrow y=\dfrac{1-\sqrt{4m+1}}{2}\Rightarrow B\left(\dfrac{-1-\sqrt{4m+1}}{2};\dfrac{1-\sqrt{4m+1}}{2}\right)\)

\(AB=8\Leftrightarrow\sqrt{8m+2}=8\Leftrightarrow m=\dfrac{31}{4}\left(tm\right)\)

2.

a, \(AB=2\sqrt{5},BC=5\sqrt{10},CA=\sqrt{170}\)

\(AM^2=\dfrac{AB^2+AC^2}{2}-\dfrac{BC^2}{4}=\dfrac{65}{2}\Rightarrow AM=\dfrac{\sqrt{130}}{2}\)

b, \(\left\{{}\begin{matrix}x_D-4-2\left(x_D-2\right)+4\left(x_D+3\right)=0\\y_D-3-2\left(y_D-7\right)+4\left(y_D+8\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_D=-4\\y_D=-\dfrac{14}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow D\left(-4;-\dfrac{14}{3}\right)\)

c, \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AA'}=\left(x_{A'}-4;y_{A'}-3\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(-5;-15\right)\\\overrightarrow{BA'}=\left(x_{A'}-2;y_{A'}-7\right)\end{matrix}\right.\)

\(AA'\perp BC\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BC}=0\left(1\right)\\\overrightarrow{BA'}=k\overrightarrow{BC}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow-5\left(x_{A'}-4\right)-15\left(y_{A'}-3\right)=0\Leftrightarrow x_{A'}+3y_{A'}=13\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}-2=-5k\\y_{A'}-7=-15k\end{matrix}\right.\Leftrightarrow3x_{A'}-y_{A'}=-1\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}+3y_{A'}=13\\3x_{A'}-y_{A'}=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=1\\y_{A'}=4\end{matrix}\right.\Rightarrow A'\left(1;4\right)\)

tui mới lớp 6

mày dám

a: A(1;5); B(3;-1); C(-1;-1)

\(\overrightarrow{AB}=\left(3-1;-1-5\right)=\left(2;-6\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(-1-1;-1-5\right)=\left(-2;-6\right)\)

Vì \(\frac{2}{-2}<>\frac{-6}{-6}\left(-1<>1\right)\)

nên A,B,C không thẳng hàng

=>A,B,C là ba đỉnh của một tam giác

b: Tọa độ G là:

\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\cdot\left(1+3-1\right)=\frac33=1\\ y_{G}=\frac13\cdot\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\cdot\left(5-1-1\right)=\frac13\cdot3=1\end{cases}\)

=>G(1;1)

c: Tọa độ trung điểm M của BC là:

\(\begin{cases}x_{M}=\frac12\cdot\left(x_{B}+x_{C}\right)=\frac12\cdot\left(3-1\right)=\frac22=1\\ y_{M}=\frac12\cdot\left(y_{B}+y_{C}\right)=\frac12\cdot\left(-1-1\right)=-\frac22=-1\end{cases}\)

=>M(1;-1)

A(1;5); M(1;-1)

=>\(\overrightarrow{AM}=\left(1-1;-1-5\right)=\left(0;-6\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (6;0)

Phương trình AM là:

6(x-1)+0(y-5)=0

=>6(x-1)=0

=>x-1=0

=>x=1