Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xem thêm tại đây.
Câu hỏi của Trương quang huy hoàng - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Lời giải:
Ta có:
\(A=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\)
\(\Rightarrow A+\frac{29}{2}=\frac{4a}{b+c-a}+2+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{9}{2}+\frac{16c}{a+b-c}+8\)
\(A+\frac{29}{2}=\frac{2(a+b+c)}{b+c-a}+\frac{\frac{9}{2}(a+b+c)}{a+c-b}+\frac{8(a+b+c)}{a+b-c}\)
\(A+\frac{29}{2}=(a+b+c)\left(\frac{2}{b+c-a}+\frac{\frac{9}{2}}{a+c-b}+\frac{8}{a+b-c}\right)\)
\(\geq (a+b+c).\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{\frac{9}{2}}+\sqrt{8})^2}{b+c-a+a+c-b+a+b-c}=\frac{81}{2}\)
(Áp dụng BĐT S.Vac -xơ)
\(\Rightarrow A\geq 26\)
Vậy \(A_{\min}=26\)
Đặt \(b+c-a=2x,c+a-b=2y,a+b-c=2z\to x,y,z>0\) v
à thỏa mãn \(a=y+z,b=z+x,c=x+y.\) Đặt \(S=2VT\) (hai lần vế trái của bất đẳng thức) thì ta có
\(S=\frac{4\left(y+z\right)}{x}+\frac{9\left(x+z\right)}{y}+\frac{16\left(x+y\right)}{z}=\left(\frac{4y}{x}+\frac{9x}{y}\right)+\left(\frac{4z}{x}+\frac{16x}{z}\right)+\left(\frac{9z}{y}+\frac{16y}{z}\right)\)
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta được
\(S\ge2\sqrt{\frac{4y}{x}\cdot\frac{9x}{y}}+2\sqrt{\frac{4z}{x}\cdot\frac{16x}{z}}+2\sqrt{\frac{9z}{y}\cdot\frac{16y}{z}}=2\cdot6+2\cdot8+2\cdot12=2\cdot26=52.\)
Suy ra \(VT=\frac{S}{2}\ge\frac{52}{2}=26\). (ĐPCM)
đề sai ở mẫu cuối nhé
đặt b + c - a = x ; a + c - b = y ; a + b - c = z
\(\Rightarrow a=\frac{y+z}{2};b=\frac{x+z}{2};c=\frac{x+y}{2}\)
\(\Rightarrow P=\frac{2\left(y+z\right)}{x}+\frac{9\left(x+z\right)}{2y}+\frac{8\left(x+y\right)}{z}=\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y}+\frac{2z}{x}+\frac{8x}{z}+\frac{9z}{2y}+\frac{8y}{z}\)
\(\ge6+8+12=26\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\geq \frac{4}{2ab+a^2+b^2}=\frac{4}{a+b)^2}=4(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(1=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}\Rightarrow \frac{3}{2ab}\geq 6(2)\)
\(a^4+b^4\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}\geq \frac{(\frac{(a+b)^2}{2})^2}{2}=\frac{1}{8}\) \(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{2}\geq \frac{1}{16}(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow P\geq 4+6+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{161}{16}\). Dấu bằng xảy ra tại $a=b=0,5$
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)\geq 2. \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{8}{(x+y)^2}=\frac{9}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{80}{81xy}+5xy\geq 2\sqrt{\frac{80}{81}.5}=\frac{40}{9}\)
\(\frac{4}{3}=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{4}{9}\Rightarrow \frac{1}{81ab}\geq \frac{1}{36}\)
Cộng những BĐT vừa cm được ở trên với nhau:
\(\Rightarrow A\geq \frac{9}{2}+\frac{40}{9}+\frac{1}{36}=\frac{323}{36}\)
Vậy \(A_{\min}=\frac{323}{36}\Leftrightarrow a=b=\frac{2}{3}\)
Lời giải:
Gọi biểu thức đã cho là $P$. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P+\frac{29}{2}=\frac{4a}{b+c-a}+2+\frac{9b}{c+a-b}+\frac{9}{2}+\frac{16c}{a+b-c}+8\)
\(=\frac{2(a+b+c)}{b+c-a}+\frac{\frac{9}{2}(a+b+c)}{c+a-b}+\frac{8(a+b+c)}{a+b-c}\)
\(=(a+b+c)\left(\frac{2}{b+c-a}+\frac{\frac{9}{2}}{c+a-b}+\frac{8}{a+b-c}\right)\)
\(\geq (a+b+c).\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{\frac{9}{2}}+\sqrt{8})^2}{b+c-a+c+a-b+a+b-c}=\frac{81}{2}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{81}{2}-\frac{29}{2}=26\) (đpcm)
Sao cô lại cộng thêm 29/2 vậy ạ? Em nghĩ như vậy thì phải biết trước được điểm rơi chứ nhỉ?
tth: \(\frac{29}{2}=2+\frac{9}{2}+8\). Cái quan trọng là vế bên phải. Ta cộng vào tương ứng mỗi phân thức 2;9/2;8 thì thu được nhân tử $a+b+c$ trên tử , tổng các mẫu là $a+b+c$ nên có thể khử thông qua Cauchy-Schwarz. Ý tưởng là vậy chứ nếu tìm điểm rơi giá trị $a,b,c$ thì cực lắm em.
vâng, nhưng một số bài nó ko ra.
ban đầu em tính thêm tham số vào nhưng mệt lắm và nhiều khi vô hiệu
tth: nhiều bài không ra thì làm cách khác. Học toán thì đâu phải cứ áp 1 phương pháp vào để làm đâu. Giờ em mới sang lớp 8 thì chị recommend dùng cuốn sáng tạo BĐT, sách BĐT Mathscope, hay cuốn những viên kim cương trong BĐT, sẽ chủ động trong việc biến đổi hơn.
Akai Haruma sách sáng tạo bđt thì em có rồi, nhưng em thấy tác giả viết lỗi nhiều quá, nhất là những phần dùng phương pháp phân tích thành tổng các bình phương (SOS),..v.v.... gây ra khó hiểu cho em cũng như việc giải các bài tập tương tự