1) \(sin\left(A+2B+C\right)=sin\left(\pi-B+2B\right)\)

=\(sin\left(\pi+B\right)=sin\left(-B\right)=-sinB\)

2) \(sinBsinC-cosBcosC=-cos\left(B+C\right)\)

\(=-cos\left(\pi-A\right)=cosA\)

4) bạn ơi +2 vào vế phải mới đúng nhé

2+ \(2cosAcosBcosC=\left[cos\left(A+B\right)+cos\left(A-B\right)\right]cosC+2\)

\(=cos\left(\pi-C\right)cosC+cos\left(A-B\right)cos\left(\pi-\left(A+B\right)\right)+2\)

=\(-cos^2C-cos\left(A-B\right)cos\left(A+B\right)+2\)

\(=-cos^2C-\frac{1}{2}\left(cos2A+cos2B\right)+2\)

\(=-cos^2C-\frac{1}{2}\left(2cos^2A-1\right)-\frac{1}{2}\left(2cos^2B-1\right)+2\)

\(=-cos^2C-cos^2A+\frac{1}{2}-cos^2C+\frac{1}{2}+2\)

= sin²C - 1 + sin²A - 1 + sin²C - 1 + 3

= sin²A + sin²B + sin²C

a: \(\left\{{}\begin{matrix}x_G=\dfrac{2+4+2}{3}=\dfrac{8}{3}\\y_G=\dfrac{1+0+3}{3}=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{2+4}{2}=3\\y_I=\dfrac{1+0}{2}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Theo đl sin có:

\(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}\Rightarrow b=a\dfrac{sinB}{sinA};c=\dfrac{sinC}{sinA}.a\)

Mà `b+c=2a`

\(\Rightarrow a\dfrac{sinB}{sinA}+a\dfrac{sinC}{sinA}=2a\\ \Rightarrow\dfrac{sinB}{sinA}+\dfrac{sinC}{sinA}=2\\ \Leftrightarrow sinB+sinC=2sinA\)

Chọn B

Có: cos 2A + 2√2.cos B + 2√2.cos C = 3
⇔2cos²A - 1 + 2√2.2.cos[(B + C)/2] . cos[(B - C)/2] - 3 = 0
⇔2cos²A + 4√2.sin (A/2) . cos[(B - C)/2] - 4 = 0(1)
Ta thấy: sin(A/2) > 0 ; cos[(B - C)/2] ≤ 1
⇒VT ≤ 2cos²A + 4√2.sin(A/2) - 4
Vì tam giác ABC không tù nên 0 ≤ cos A < 1
⇒cos²A ≤ cos A
⇒VT ≤ 2cos A + 4√2.sin(A/2) - 4
⇒VT ≤ 2.[1 - 2.(sin A/2)²] + 4√2.sin(A/2) - 4
⇒VT ≤ -4.(sin A/2)² + 4√2.sin(A/2) - 2
⇒VT ≤ -2(√2.sin A/2 - 1)² ≤ 0(2)
Kết hợp (1)(2) thì đẳng thức xảy ra khi tất cả các dấu = ở trên xảy ra
⇔cos [(B - C)/2] = 1 và cos²A = cos A và √2.sin A/2 - 1 = 0
⇔góc B = góc C và cos A = 0 và sin A/2 = 1/√2
⇔ góc B = góc C và góc A = 90 độ
Vậy góc A = 90 độ, góc B = góc C = 45 độ

1: A(1;1); B(3;3); C(0;-6)

\(AB=\sqrt{\left(3-1\right)^2+\left(3-1\right)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2\)

\(AC=\sqrt{\left(0-1\right)^2+\left(-6-1\right)^2}=\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-7\right)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2\)

\(BC=\sqrt{\left(0-3\right)^2+\left(-6-3\right)^2}=\sqrt{\left(-3\right)^2+\left(-9\right)^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\)

Xét ΔABC có \(cosA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(=\frac{8+50-90}{2\cdot2\sqrt2\cdot5\sqrt2}=\frac{8-40}{4\cdot2\cdot5}=\frac{-32}{8\cdot5}=\frac{-4}{5}\)

2: D(x;y); A(1;1); B(3;3)

\(\overrightarrow{DA}=\left(1-x;1-y\right);\overrightarrow{DB}=\left(3-x;3-y\right)\)

ΔDAB vuông cân tại D

=>DA=DB và \(\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=0\)

DA=DB

=>\(\left(1-x\right)^2+\left(1-y\right)^2=\left(3-x\right)^2+\left(3-y\right)^2\)

=>\(x^2-2x+1+y^2-2y+1=x^2-6x+9+y^2-6y+9\)

=>-2x-2y+2=-6x-6y+18

=>4x+4y=16

=>x+y=4

=>y=4-x

\(\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=0\)

=>(1-x)(3-x)+(1-y)(3-y)=0

=>(x-1)(x-3)+(y-1)(y-3)=0

=>(x-1)(x-3)+(4-x-1)(4-x-3)=0

=>(x-1)(x-3)+(3-x)(1-x)=0

=>2(x-1)(x-3)=0

=>(x-1)(x-3)=0

=>x=1 hoặc x=3

TH1: x=1

=>y=4-x=4-1=3

=>D(1;3)

TH2: x=3

=>y=4-x=4-3=1

=>D(3;1)