Câu hỏi của pro

Question

Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: $0< a\le b\le c$

CMR: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}$

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

$\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\ge a^2b+b^2c+c^2a$

$\Leftrightarrow\left(c^2b-abc-b^2c+ab^2\right)+\left(ca^2+abc-ac^2-a^2b\right)\ge0$

$\Leftrightarrow b\left(c^2-ac-bc+ab\right)-a\left(c^2-ac-bc+ab\right)\ge0$

$\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(c^2-ac-bc+ab\right)\ge0$

$\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)\ge0$ (luôn đúng do $c\ge b\ge a>0$)

Câu trả lời:

$\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\ge a^2b+b^2c+c^2a$

$\Leftrightarrow\left(c^2b-abc-b^2c+ab^2\right)+\left(ca^2+abc-ac^2-a^2b\right)\ge0$

$\Leftrightarrow b\left(c^2-ac-bc+ab\right)-a\left(c^2-ac-bc+ab\right)\ge0$

$\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(c^2-ac-bc+ab\right)\ge0$

$\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)\ge0$ (luôn đúng do $c\ge b\ge a>0$)