a: \(AB=\sqrt{\left(2+1\right)^2+\left(1-1\right)^2}=3\)

\(BC=\sqrt{\left(-1-2\right)^2+\left(-3-1\right)^2}=5\)

\(AC=\sqrt{\left(-1+1\right)^2+\left(-3-1\right)^2}=4\)

=>C=3+4+5=12

b: Tọa độ trọng tâm là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1+2-1}{3}=0\\y=\dfrac{1+1-3}{3}=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

c: ABCD là hình bình hành

=>vecto AB=vecto DC

=>-1-x=2-(-1)=3 và -3-y=1-1=0

=>x=-4 và y=-3

a) Ta có :

\(\overrightarrow{AB}=3\\ \overrightarrow{BC}=5\\ \overrightarrow{AC}=4\)

Chu vi tam giác là : 

AB + BC + AC = 3 + 4 + 5 = 12

b) Toạ độ trọng tâm của tam giác ABC là :

\(\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)=\left(\dfrac{-1+2+\left(-1\right)}{3};\dfrac{1+1+\left(-3\right)}{3}\right)=\left(0;-\dfrac{1}{3}\right)\)

c) Cho điểm D ( x ; y )

Để tứ giác ABCD là hình bình hành thì :

\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1;y-1\right)=\left(-3;-4\right)\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-4\\y=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy với D ( -4 ; -3 ) thì tứ giác ABCD là hình bình hành

1/ M là TĐ của BC=> \(\left\{{}\begin{matrix}x_M=\frac{x_B+x_C}{2}\\y_M=\frac{y_B+y_C}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B+x_C=2\\y_B+y_C=-2\end{matrix}\right.\)

Tương tự \(\left\{{}\begin{matrix}x_C+x_A=6\\y_C+y_A=4\end{matrix}\right.;\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=0\\y_A+y_B=-10\end{matrix}\right.\)

Tự kết hợp các hpt vs để tìm nhoa, bởi đến đây là siu ez rùi đoá :)

2/ \(\left\{{}\begin{matrix}x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2=\frac{1+x_B-2}{3}\\1=\frac{3+y_B+4}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=7\\y_B=-4\end{matrix}\right.\Rightarrow B\left(7;-4\right)\)

3/ \(\left\{{}\begin{matrix}x_C=\frac{x_A+x_B+x_D}{3}\\y_C=\frac{y_A+y_B+y_D}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2=\frac{-4+2+x_D}{3}\\-2=\frac{1+4+y_D}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_D=8\\y_D=-11\end{matrix}\right.\Rightarrow D\left(8;-11\right)\)

a: \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;2\right);\overrightarrow{AC}=\left(-5;3\right);\overrightarrow{BC}=\left(-4;1\right)\)

Vì -1/-5<>2/3

nên A,B,C ko thẳng hàng

=>A,B,C là ba đỉnh của 1 tam giác

b: \(AB=\sqrt{\left(-1\right)^2+2^2}=\sqrt{5}\)

\(AC=\sqrt{\left(-5\right)^2+3^2}=\sqrt{34}\)

\(BC=\sqrt{\left(-4\right)^2+1^2}=\sqrt{17}\)

\(C=\sqrt{5}+\sqrt{34}+\sqrt{17}\left(cm\right)\)

\(cosBAC=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\simeq0,844\)

=>sinBAC=0,54

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{34}\cdot0.36\simeq2.35\left(cm^2\right)\)

c: ADBC là hình bình hành

=>vecto AD=vecto CB

=>x-3=2-(-2) và y+1=1-2

=>x-3=2+2 và y=-2

=>x=7 và y=-2

a/ Để tứ giác ABCD là hbh

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Leftrightarrow\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)=\left(x_C-x_D;y_C-y_D\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(3;-7\right)=\left(2-x_D;1-y_D\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2-x_D=3\\1-y_D=-7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_D=-1\\y_D=8\end{matrix}\right.\Rightarrow D\left(-1;8\right)\)

b/ \(x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{-2+1+2}{3}=\frac{1}{3}\)

\(y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{4-3+1}{3}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow G\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)\)

a) Gọi G(x_G;y_G)

x_G=\(\dfrac{X_A+X_B+X_C}{3}=\dfrac{3-2+1}{3}\)=\(\dfrac{2}{3}\)

y_G=\(\dfrac{Y_A+Y_B+Y_C}{3}=\dfrac{3+4+5}{3}=4\)

⇒G(\(\dfrac{2}{3};4\))

a) Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right);\overrightarrow{BC}=\left(-1;-5\right)\) 

Do \(2:\left(-1\right)\ne2:\left(-5\right)\) nên A, B, C không thẳng hàng hay A, B, C là ba đỉnh của một tam giác

b)

- Gọi \(G\left(x_1;y_1\right)\) là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó \(x_1=\frac{1+3+3}{3}=2\) và \(y_1=\frac{2+4+\left(-1\right)}{3}=\frac{5}{3}\)

Suy ra \(G\left(2;\frac{5}{3}\right)\)

- Gọi \(H\left(x_2,y_2\right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Khi đó H thỏa mãn :

\(\begin{cases}AH\perp BC\\CH\perp AB\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0\end{cases}\)

Từ đó, ta có hệ 

\(\begin{cases}x_2+5y_2-6=0\\x_2+y_2-1=0\end{cases}\)

Giải hệ thu được ( \(x_2;y_2\)) \(=\left(-\frac{3}{4};\frac{7}{4}\right)\) do đó \(H\left(-\frac{3}{4};\frac{7}{4}\right)\)

- Gọi \(I\left(x_3,y_3\right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,

do \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IH}\) nên ta có hệ :

\(\begin{cases}1-x_3+3-x_3+2-x_3=-\frac{3}{4}-x_3\\2-y_4+4-y_3-1-y_3=\frac{7}{4}-y_3\end{cases}\)

Giải hệ ta thu được \(\left(x_3,y_3\right)=\left(\frac{27}{8};\frac{13}{8}\right)\)

Do đó \(I\left(\frac{27}{8};\frac{13}{8}\right)\)

1: Tọa độ G là:

\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\cdot\left(2+7+6\right)=\frac13\cdot15=5\\ y_{G}=\frac13\cdot\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\cdot\left(1+4+9\right)=\frac{14}{3}\end{cases}\)

a: A(0;6); B(-3;2); C(5;-1)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-3-0;2-6\right)=\left(-3;-4\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(5-0;-1-6\right)=\left(5;-7\right)\)

Vì \(\frac{-3}{5}<>\frac{-4}{-7}\)

nên A,B,C không thẳng hàng

=>A,B,C là ba đỉnh của một tam giác

b: Tọa độ trung điểm M của AB là:

\(\begin{cases}x_{M}=\frac12\cdot\left(x_{A}+x_{B}\right)=\frac12\cdot\left(0-3\right)=-\frac32\\ y_{M}=\frac12\left(y_{A}+y_{B}\right)=\frac12\left(6+2\right)=\frac12\cdot8=4\end{cases}\)

Tọa độ trung điểm N của BC là:

\(\begin{cases}x_{N}=\frac12\cdot\left(x_{B}+x_{C}\right)=\frac12\cdot\left(-3+5\right)=\frac12\cdot2=1\\ y_{N}=\frac12\left(y_{B}+y_{C}\right)=\frac12\cdot\left(2-1\right)=\frac12\end{cases}\)

=>N(1;1/2)

Tọa độ trung điểm P của AC la:

\(\begin{cases}x_{P}=\frac12\cdot\left(x_{A}+x_{C}\right)=\frac12\left(0+5\right)=\frac52\\ y_{P}=\frac12\left(y_{A}+y_{C}\right)=\frac12\left(6-1\right)=\frac52\end{cases}\)

=>P(5/2;5/2)

c: A(0;6); B(-3;2); C(5;-1); D(x;y)

A là trọng tâm của ΔBCD

=>\(\begin{cases}x_{B}+x_{C}+x_{D}=3\cdot x_{A}\\ y_{B}+y_{C}+y_{D}=3\cdot y_{A}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-3+5+x=3\cdot0=0\\ 2-1+y=3\cdot6=18\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-2\\ y=18-1=17\end{cases}\)

=>D(-2;17)

d: A(0;6); B(-3;2); C(5;-1); E(x;y)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-3-0;2-6\right)=\left(-3;-4\right)\) ; \(\overrightarrow{CE}=\left(x-5;y+1\right)\)

ABEC là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CE}\)

=>x-5=-3 và y+1=-4

=>x=2 và y=-5

=>E(2;-5)