a: AB: 3x-y+1=0; BC:x+y-4=0; AC: -2x+y+4=0

Tọa độ A là:

\(\begin{cases}3x-y+1=0\\ -2x+y+4=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}3x-y=-1\\ -2x+y=-4\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}3x-y-2x+y=-1-4\\ -2x+y=-4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-5\\ y=2x-4=2\cdot\left(-5\right)-4=-10-4=-14\end{cases}\)

=>A(-5;-14)

Tọa độ B là:

\(\begin{cases}3x-y+1=0\\ x+y-4=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}3x-y=-1\\ x+y=4\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}3x-y+x+y=-1+4\\ x+y=4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4x=3\\ x+y=4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac34\\ y=4-\frac34=\frac{13}{4}\end{cases}\)

=>B(3/4;13/4)

Tọa độ C là:

\(\begin{cases}x+y-4=0\\ -2x+y+4=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x+y=4\\ -2x+y=-4\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x+y+2x-y=4+4\\ x+y=4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}3x=8\\ x+y=4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac83\\ y=4-\frac83=\frac43\end{cases}\)

=>C(8/3;4/3)

b: BC: x+y-4=0

=>Phương trình đường cao kẻ từ A có dạng là x-y+c=0

Thay x=-5 và y=-14 vào x-y+c=0, ta được:

-5-(-14)+c=0

=>-5+14+c=0

=>c+9=0

=>c=-9

=>Phương trình đường cao kẻ từ A là x-y-9=0

AB: 3x-y+1=0

=>Phương trình đường cao kẻ từ C có dạng là x+3y+c=0

Thay x=8/3; y=4/3 vào x+3y+c=0, ta được:

\(\frac83+3\cdot\frac43+c=0\)

=>\(c+4+\frac83=0\)

=>\(c=-\frac{20}{3}\)

=>Phương trình đường cao kẻ từ C là \(x+3y-\frac{20}{3}=0\)

AC: -2x+y+4=0

=>Phương trình đường cao kẻ từ B là x+2y+c=0

Thay x=3/4; y=13/4 vào x+2y+c=0, ta được:

\(\frac34+2\cdot\frac{13}{4}+c=0\)

=>\(c+\frac34+\frac{13}{2}=0\)

=>\(c=-\frac{29}{4}\)

=>Phương trình đường cao kẻ từ B là \(x+2y-\frac{29}{4}=0\)

c: Tọa độ trực tâm của ΔABC là:

\(\begin{cases}x-y-9=0\\ x+2y-\frac{29}{4}=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x-y=9\\ x+2y=\frac{29}{4}\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x-y-x-2y=9-\frac{29}{4}\\ x-y=9\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-3y=\frac{36}{4}-\frac{29}{4}=\frac74\\ x-y=9\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=-\frac{7}{12}\\ x=y+9=-\frac{7}{12}+9=-\frac{7}{12}+\frac{108}{12}=\frac{101}{12}\end{cases}\)

d:

B(3/4;13/4); C(8/3;4/3)

Tọa độ trung điểm M của BC là:

\(\begin{cases}x_{M}=\frac12\cdot\left(x_{B}+x_{C}\right)=\frac12\left(\frac34+\frac83\right)=\frac12\cdot\frac{9+32}{12}=\frac{41}{12}\cdot\frac12=\frac{41}{24}\\ y_{M}=\frac12\cdot\left(y_{B}+y_{C}\right)=\frac12\left(\frac{13}{4}+\frac43\right)=\frac12\cdot\frac{39+16}{12}=\frac{55}{24}\end{cases}\)

=>M(41/24;55/24)

A(-5;-14); M(41/24;55/24)

=>\(\overrightarrow{AM}=\left(\frac{41}{24}+5;\frac{55}{24}+14\right)=\left(\frac{161}{24};\frac{391}{24}\right)=\left(161;391\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (-391;161)

Phương trình đường trung tuyến AM là:

-391(x+5)+161(y+14)=0

=>-391x-1955+161y+2254=0

=>-391x+161y+299=0