Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
.
.
a) \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(a+b\ge-2\sqrt{ab}\)
\(\left(a=\sqrt{a}\times\sqrt{a}=\sqrt{a}^2;b=\sqrt{b}\times\sqrt{b}=\sqrt{b^2}\right)\)
\(\sqrt{a}^2-2\sqrt{ab}+\sqrt{b}^2\ge0\)
\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)
( vi bất kì số nào bình phương cũng là số dương mà ^^~ )
\(a,\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
\(\Rightarrow\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
.
.
.
với x, y, z > 0.
.
.
Câu 1:
G/s \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ có thể viết dưới dạng phân số tối giản \(\frac{a}{b}\) \(\left(a,b\inℤ\right)\)
=> \(\frac{a}{b}=\sqrt{7}\)
<=> \(\left(\frac{a}{b}\right)^2=7\)
=> \(a^2=7b^2\)
=> \(a^2⋮b^2\) , mà theo đề bài phân số tối giản
=> a không chia hết cho b => a2 không chia hết cho b2
=> vô lý
=> \(\sqrt{7}\) là số vô tỉ
Câu 2:
a) \(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)
\(=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)
\(=\left(a^2c^2+a^2d^2\right)+\left(b^2c^2+b^2d^2\right)\)
\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)
\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
b) Ta có: \(\left(ac+bd\right)^2=a^2c^2+2abcd+b^2d^2\)
\(=a^2c^2+2\sqrt{a^2d^2.b^2c^2}+b^2d^2\)
\(\le a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\) ( bất đẳng thức Cauchy )
Dấu "=" xảy ra khi: \(ad=bc\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
.
a) Vì \(\left|A+B\right|\ge0\)và \(\left|A\right|+\left|B\right|\ge0\)
Bình phương 2 vế ta có:
\(\left|A+B\right|^2\le\left(\left|A\right|+\left|B\right|\right)^2\)
\(\Leftrightarrow A^2+2AB+B^2\le A^2+2\left|AB\right|+B^2\)
\(\Leftrightarrow2\left|AB\right|\ge2AB\)\(\Leftrightarrow\left|AB\right|\ge AB\)(1)
Theo tính chất của dấu giá trị tuyệt đối thì \(\left|AB\right|\ge AB\)
\(\Rightarrow\)(1) luôn đúng \(\Rightarrow\left|A+B\right|\le\left|A\right|+\left|B\right|\)( đpcm )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow AB\ge0\)
b) \(M=\sqrt{x^2+4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{\left(x+2\right)^2}+\sqrt{\left(x-3\right)^2}\)
\(=\left|x+2\right|+\left|x-3\right|=\left|x+2\right|+\left|3-x\right|\)
Áp dụng kết quả phần a ta có:
\(M=\left|x+2\right|+\left|3-x\right|\ge\left|x+2+3-x\right|=\left|5\right|=5\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(3-x\right)\ge0\)
TH1: \(\hept{\begin{cases}x+2\ge0\\3-x\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-2\\x\le3\end{cases}}\Leftrightarrow-2\le x\le3\)
TH2: \(\hept{\begin{cases}x+2< 0\\3-x< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x< -2\\x>3\end{cases}}\)( vô lý )
Vậy \(minM=5\)\(\Leftrightarrow-2\le x\le3\)
a) Do 2 vế của BĐT không âm nên ta có:
\(\left|A+B\right|\le\left|A\right|+\left|B\right|\Leftrightarrow\left|A+B\right|^2\le\left(\left|A\right|+\left|B\right|\right)^2\)
\(\Leftrightarrow A^2+B^2+2AB\le A^2+B^2+2\left|AB\right|\Leftrightarrow AB\le\left|AB\right|\) (LUÔN ĐÚNG)
Dấu '=' xảy ra <=> \(AB\ge0\)
a: Ta có: \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\forall a,b>=0\)
=>\(a+b-2\sqrt{ab}\ge0\forall a,b\ge0\)
=>\(a+b\ge2\sqrt{ab}\forall a,b\ge0\)
=>\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\forall a,b\in R^{+}\)
=>ĐPCM
b: \(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2\cdot\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ab}{c}}=2\cdot\sqrt{b^2}=2\cdot\left|b\right|=2b\) (do b>0)
\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2\cdot\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ac}{b}}=2\cdot\sqrt{c^2}=2c\left(c>0\right)\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2\cdot\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{ac}{b}}=2\cdot\sqrt{a^2}=2a\left(a>0\right)\)
Do đó: \(\frac{ba}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{ca}{b}+\frac{cb}{a}\ge2\left(a+b+c\right)\)
=>\(\frac{ba}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\)