4,Tìm a, b ∈N, biết:

a,10^a+168=b²

b,100^a+63=b²

c,2^a+124=5^b

d,2^a+80=3^b

 Giải:

a) xét \(a=0\)

\(\Rightarrow10^a+168=1+168=169=13^2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=13\end{cases}}\)

xét \(a\ne0\)

=>10a có tận cùng bằng 0

Mà 10a+168 có tận cùng bằng 8 không phải số chính phương ( các số chính phương chỉ có thể tận cùng là:0;1;4;5;6;9  )

=>không có b

vậy \(\hept{\begin{cases}a=0\\b=13\end{cases}}\)

b)Chứng minh tương tự câu a)

c) \(5^b\)là số lẻ với b là số tự nhiên và tận cùng là 5

\(\Rightarrow2^a+124\)cũng là số lẻ và tận cùng là 5

Mà \(2^a+124\) là số lẻ khi và chỉ khi a=0

ta có :

2^0 + 124 = 5^b

=> 125 = 5^b

=> 5^3 = 5^b

=> b = 3

Vậy a = 0 ; b =3

d)Chứng minh tương tự như 2 câu mẫu trên

3,Cho B=3⁴ⁿ⁺³+2013

Chứng minh rằng B⋮10 với mọi n∈N

Giải:

Ta có : 

3⁴ⁿ⁺³+2013

=(3⁴)ⁿ+27+2013

=81ⁿ+2040

Phần sau dễ rồi ,mk nghĩ bạn có thể giải đc

Bài 1:

a; Cho a/b < 1 và a; b; c ∈ N*

Ta có: \(\frac{a}{b}\) = 1 - \(\frac{b-a}{b}\)

\(\frac{a+c}{b+c}\) = 1 - \(\frac{b-a}{b+c}\)

Vì a;b; c ∈ N* và a < b nên

\(\frac{b-a}{b}\) > \(\frac{b-a}{b+c}\)

⇒ \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+c}\) (Hai phân số phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn)

Vậy Cho a/b < 1 và a; b; c ∈ N* thì: \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+c}\) (Đpcm)

Câu 3:

Để 15/7 và 35/19 nhân cùng với một phân số tự sẽ được một số tự nhiên thì tử số của phân số đó phải chia hết cho 7 và 19

7 = 7; 19 = 19. Mẫu số của phân số đó phải là Ước Chung lớn nhất của 15 và 35

BCNN(7; 19) = 7.19 = 133

Vì tử số là số tự nhiên nhỏ nhất nên nó phải là BCNN(7; 19) = 133

15 = 3.5; 35 = 5.7

ƯCLN(15; 35) = 5

Phân số cần tìm là: 133/5

a) Ta có:

 S=5¹+5²+5³+...+5⁹⁶ gồm 96 số hạng

   =(5¹+5²+...+5⁶)+(5⁷+5⁸+...+5¹²)+...+(5⁹¹+5⁹²+...+5⁹⁶)

   =(5¹+5²+...+5⁶)+5⁶.(5¹+5²+...+5⁶)+...+5⁸⁵.(5¹+5²+...+5⁶)

   =19530+5⁶.19530+...+5⁸⁵.19530

   =19530.(1+5⁵+...+5⁸⁵)

 Vậy: S chia hết cho 126(Vì 19530 chia hết cho 126)

 b) Vì S chia hết cho 19530 nên S có tận cùng bằng 0(19530=1953.10)

\(M=1+3+3^2+3^3+....+3^{47}+3^{48}+3^{49}\)

\(M=\left(1+3+3^2\right)+...+\left(3^{47}+3^{48}+3^{49}\right)\)

\(M=13\left(1+....+17\right)⋮13\left(\text{đ}pcm\right)\)

Câu 3:

Giả sử 16 số đã cho không có số nào âm, khi đó 16 số đều dương, nhóm ba số bất kì với nhau thì tích của chúng đều là số dương trái với đề bài. Vậy điều giả sử là sai. Do đó trong 16 số đã cho nhất định sẽ có số âm.

Bỏ 1 số âm ra thì số các số còn lại là:

16 - 1 = 15

Vì 15 : 3 = 5

Nên ta nhóm 3 số bất kì của 15 số còn lại thì được 5 nhóm, mỗi nhóm đều có 3 số.

Do tích của 3 số bất kì đều là số âm nên tích của 5 nhóm đều là số âm.

Đem tích của 15 số còn lại nhân với số âm đã được bỏ ra lúc đầu thì được số dương

Vậy tích của 16 số đã cho là một số dương.

Bài 3:

a,Đặt A = \(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{64}\)

A = \(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}-\frac{1}{2^6}\)

2A = \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}-\frac{1}{2^5}\)

2A + A = \(\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}-\frac{1}{2^5}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}-\frac{1}{2^6}\right)\)

3A = \(1-\frac{1}{2^6}\)

=> 3A < 1 

=> A < \(\frac{1}{3}\)(đpcm)

b, Đặt A = \(\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)

3A = \(1-\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}-\frac{4}{4^3}+...+\frac{99}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\)

3A + A = \(\left(1-\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}-\frac{4}{4^3}+...+\frac{99}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\right)\)

4A = \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)

=> 4A < \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}\)       (1)

Đặt B = \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}\)

3B = \(3-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{97}}-\frac{1}{3^{98}}\)

3B + B = \(\left(3-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{97}}-\frac{1}{3^{98}}\right)+\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}\right)\)

4B = \(3-\frac{1}{3^{99}}\)

=> 4B < 3

=> B < \(\frac{3}{4}\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4A < B < \(\frac{3}{4}\)=> A < \(\frac{3}{16}\)(đpcm)

bài 1:

5n+7 chia hết cho 3n+2

=> [3(5n+7) - 5(3n + 2)] chia hết cho 3n+2

=> (15n + 21 - 15n - 10) chia hết cho 3n+2

=> 11 chia hết cho 3n + 2

=> 3n + 2 thuộc Ư(11) = {1;-1;11;-11}

Ta có bảng:

Vậy n = {-1;3}

Bài 1: Ta có: \(B=3+3^2+3^3+...+3^{2005}\)

    \(3B=3^2+3^3+3^4+...+3^{2006}\)

\(3A-A=3^{2006}-3\)

Hay \(2A=3^{2006}-3\)

+) Ta có: 2B+3=\(\left(3^{2006}-3\right)+3\)

\(\Rightarrow2B+3=3^{2006}\)

Vậy 2B+3 là lũy thừa của 3

b) Ta có: \(A=3+3^2+...+3^{100}\)

\(3A=3^2+3^3+...+3^{101}\)

\(3A-A=3^{101}-3\)

Hay \(2A=3^{101}-3\)

+) theo đề ra, ta có: \(2A+3=3^n\)

\(\Rightarrow\left(3^{101}-3\right)+3=3^{101}=3^n\)

\(\Rightarrow n=101\)

Mỏi tay wóa!!! Học tốt nha^^

 B1

Có B=3+3²+...+3²⁰⁰⁵

=>3B=3²+3³+...+3²⁰⁰⁶

=>2B=3B-B=3²⁰⁰⁶-3

=>2B+3=3²⁰⁰⁶-3+3=3²⁰⁰⁶

=>Đpcm

B2

Có A=3+3²+..+3¹⁰⁰

=>3A=3²+3³+...+3¹⁰¹

=>2A=3A-A=3¹⁰¹-3

=>2A+3=3¹⁰¹-3+3=3¹⁰¹=3ⁿ

=>n=101

b) Ta có :

B = 3¹ + 3² + 3³ +...+ 3³⁰⁰ 

B = (3¹ + 3² + 3³ + 3⁴) + ... + (3²⁹⁷ + 3²⁹⁸ + 3²⁹⁹ + 3³⁰⁰)

B = 120 +....+ (3¹ + 3² + 3³ + 3⁴) . 3²⁹⁶

B = 120 +...+ 120 . 3²⁹⁶

B = 120 . (1 + .... + 3²⁹⁶)

Mà 120 \(⋮\)2 nên B \(⋮\)2

\(\Rightarrow\)(đpcm)

c) Theo b)   B \(⋮\)120 mà 120\(⋮\)10 nên B \(⋮\)10 hay B tận cùng là 0        (1)

Theo a) thì A tận cùng là 0           (2)

Từ (1) và (2), ta có :
B - A = (.....0) - (.....0)

         = (......0) \(⋮\)5

\(\Rightarrow\)(đpcm)

b) Ta có : \(B=3+3^2+3^3+...+3^{300}\)

\(=\left(3+3^2\right)+\left(3^3+3^4\right)+...+\left(3^{299}+3^{300}\right)\)

\(=3\left(1+3\right)+3^3\left(1+3\right)+...+3^{299}\left(1+3\right)\)

\(=3.4+3^3.4+...+3^{299}.4\)

\(=4\left(3+3^3+...+3^{299}\right)⋮2\)

\(\Rightarrowđpcm\)

c) Ta có : \(B=3+3^2+3^3+...+3^{300}\)

\(=\left(3+3^2+3^3+3^4\right)+...+\left(3^{297}+3^{298}+3^{299}+3^{300}\right)\)

\(=\left(3+3^2+3^3+3^4\right)+...+3^{296}\left(3+3^2+3^3+3^4\right)\)

\(=120+3^4.120+...+3^{296}.120\)

\(=120\left(1+3^4+...+3^{296}\right)⋮10\)

Mà A có chữ số tận cùng là 0 (theo phần a)

\(\Rightarrow A⋮10\)

\(\Rightarrow B-A⋮10\)

Nhưng \(10⋮5\)

\(\Rightarrow B-A⋮5\)

\(\Rightarrowđpcm\)