a: \(a^2+4b^2+9c^2=2ab+6bc+3ac\)

=>\(2a^2+8b^2+18c^2-4ab-12bc-6ac=0\)

=>\(a^2-4ab+4b^2+4b^2-12bc+9c_{}^2+a^2-6ac+9c^2=0\)

=>\(\left(a-2b\right)^2+\left(2b-3c\right)^2+\left(a-3c\right)^2=0\)

=>\(\begin{cases}a-2b=0\\ 2b-3c=0\\ 3c-a=0\end{cases}\Rightarrow a=2b=3c\)

\(A=\left(a-2b+1\right)^{2022}+\left(2b-3c-1\right)^{2023}+\left(3c-a+1\right)^{2024}\)

\(=\left(a-a+1\right)^{2022}+\left(2b-2b-1\right)^{2023}+\left(a-a+1\right)^{2024}\)

=1-1+1

=1

b: \(x^2+2xy+6x+6y+2y^2+8=0\)

=>\(x^2+2xy+y^2+6\left(x+y\right)+9+y^2-1=0\)

=>\(\left(x+y+3\right)^2-1=-y^2\)

=>\(-y^2=\left(x+y+2\right)\left(x+y+4\right)\)

=>\(-y^2=\left(x+y+2024-2022\right)\left(x+y+2024-2020\right)\)

=>\(-y^2=\left(A-2022\right)\left(A-2020\right)\)

mà \(-y^2\le0\forall y\)

nên (A-2022)(A-2020)<=0

=>2020<=A<=2022

\(A_{\min}=2020\) khi x+y+2=0 và y=0

=>y=0 và x=-2-y=-2-0=-2

\(A\max=2022\) khi x+y+4=0 và y=0

=>y=0 và x=-y-4=-4

Bài  \(1a.\)  Tìm  \(x,y,z\)  biết \(x^2+4y^2=2xy+1\)   \(\left(1\right)\)  và  \(z^2=2xy-1\)  \(\left(2\right)\)

Cộng  \(\left(1\right)\)  và  \(\left(2\right)\)  vế theo vế, ta được:

\(x^2+4y^2+z^2=4xy\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x^2-4xy+4y^2+z^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\left(x-2y\right)^2+z^2=0\)

Do  \(\left(x-2y\right)^2\ge0\)  và  \(z^2\ge0\)  với mọi  \(x,y,z\)

nên để thỏa mãn đẳng thức trên thì phải đồng thời xảy ra  \(\left(x-2y\right)^2=0\)  và  \(z^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(^{x-2y=0}_{z^2=0}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(^{x=2y}_{z=0}\)

Từ  \(\left(2\right)\), với chú ý rằng  \(x=2y\)  và  \(z=0\), ta suy ra:

\(2xy-1=0\)  \(\Leftrightarrow\)  \(2.\left(2y\right).y-1=0\)  \(\Leftrightarrow\)  \(4y^2-1=0\)  \(\Leftrightarrow\)  \(y^2=\frac{1}{4}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(y=\frac{1}{2}\)  hoặc  \(y=-\frac{1}{2}\)

\(\text{*)}\)  Với  \(y=\frac{1}{2}\) kết hợp với \(z=0\) \(\left(cmt\right)\)  thì  \(\left(2\right)\)  \(\Rightarrow\)  \(2.x.\frac{1}{2}-1=0\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=1\)

\(\text{*)}\)  Tương tự với trường hợp  \(y=-\frac{1}{2}\), ta cũng dễ dàng suy ra được \(x=-1\)

Vậy, các cặp số  \(x,y,z\)  cần tìm là  \(\left(x;y;z\right)=\left\{\left(1;\frac{1}{2};0\right),\left(-1;-\frac{1}{2};0\right)\right\}\)

\(b.\)  Vì  \(x+y+z=1\)  nên  \(\left(x+y+z\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)=1\)  \(\left(3\right)\)

Mặt khác, ta lại có  \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)  \(\Rightarrow\)  \(xy+yz+xz=0\)  \(\left(4\right)\) (do  \(xyz\ne0\))

Do đó,  từ  \(\left(3\right)\) và \(\left(4\right)\)  \(\Rightarrow\)  \(x^2+y^2+z^2=1\)

Vậy,  \(B=1\)

1a) x=1, y=1/2, z=0

\(x^2+2xy+6x+6y+2y^2+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(6x+6y\right)+9+y^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+6\left(x+y\right)+9=1-y^2\)

\(\left(x+y+3\right)^2=1-y^2\)

Do \(VP=1-y^2\le1\forall x\) \(\Rightarrow VT=\left(x+y+3\right)^2\le1\)

\(\Leftrightarrow-1\le x+y+3\le1\)

\(\Leftrightarrow-1+2013\le x+y+3+2013\le1+2013\)

\(\Leftrightarrow2012\le x+y+2016\le2014\) hay \(2012\le B\le2014\)

B đạt MIN là 2012 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x+y+3=-1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-4\end{cases}}}\)

B đạt MAX là 2014 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x+y+3=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-2\end{cases}}}\)

a, Ở phân số tử là a đầu tiên, thì nhân cả tử và mẫu cho c. Ở phân số thứ 2 có tử là b, nhân với ac, còn phân số còn lại giữ nguyên. Thì bạn sẽ có 3 phân số cùng mẫu nhé :3 Xong công vào ra 1 ^^

b, Viết bình phương (x+y+z)^2= bla blo :v Xong thay giữ kiện xy +yz+zx = 1 vào là done. Xong để có 10x^2+10y^2+z^2 thì dễ rồi nhé ^^

a. Câu hỏi của Nguyễn Văn An - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

a) \(A=4x^2-12x+100=\left(2x\right)^2-12x+3^2+91=\left(2x-3\right)^2+91\)

Ta có: \(\left(2x-3\right)^2\ge0\forall x\inℤ\)

\(\Rightarrow\left(2x-3\right)^2+91\ge91\)

hay A \(\ge91\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left(2x-3\right)^2=0\)

<=> 2x-3=0

<=> 2x=3

<=> \(x=\frac{3}{2}\)

Vậy Min A=91 đạt được khi \(x=\frac{3}{2}\)

b) \(B=-x^2-x+1=-\left(x^2+x-1\right)=-\left(x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{5}{4}\right)=-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\)

Ta có: \(-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\le\frac{5}{4}\) hay B\(\le\frac{5}{4}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)

Vậy Max B=\(\frac{5}{4}\)đạt được khi \(x=\frac{-1}{2}\)

\(C=2x^2+2xy+y^2-2x+2y+2\)

\(C=x^2+2x\left(y-1\right)+\left(y-1\right)^2+x^2+1\)

\(\Leftrightarrow C=\left(x+y-1\right)^2+x^2+1\)

Ta có: 

\(\hept{\begin{cases}\left(x+y-1\right)^2\ge0\forall x;y\inℤ\\x^2\ge0\forall x\inℤ\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)^2+x^2+1\ge1\)

hay C\(\ge\)1

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\left(x+y-1\right)^2=0\\x^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\x=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y=1\\x=0\end{cases}}}\)

Vậy Min C=1 đạt được khi y=1 và x=0

Giải:

Đặt \(A=x+y+2017\) Ta có: \(x^2+2xy+6x+6y+2y^2+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+6\left(x+y\right)+y^2=-8\)

Mà \(y^2\ge0\Rightarrow\left(x+y\right)^2+6\left(x+y\right)\le-8\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+6\left(x+y\right)+9\le1\) \(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)^2\le1\)

\(\Rightarrow\left|x+y+3\right|\le1\Rightarrow-1\le x+y+3\le1\)

\(\Leftrightarrow2013\le A\le2015\) Dấu "=" xảy ra:

\(A_{MIN}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+2017=2013\\y=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-4\\y=0\end{cases}}\)

\(A_{MAX}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+2017=2015\\y=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\y=0\end{cases}}\)