Xét ΔAMO vuông tại M có 

\(OA^2=AM^2+OM^2\)

\(\Leftrightarrow AM=12\left(cm\right)\)

hay AB=24(cm)

a: Xét (O) có

OI là một phần bán kính

AB là dây

Do đó: Nếu OI⊥AB thì OI ⊥ AB tại I

b: ΔOIA vuông tại I

=>\(OI^2+IA^2=OA^2\)

=>\(IA^2=5^2-3^2=25-9=16=4^2\)

=>IA=4(cm)

ΔOAB cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của AB

=>\(AB=2\cdot AI=8\left(\operatorname{cm}\right)\)

a) Xét (O) có

\(\widehat{BAD}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{BD}\)

\(\widehat{BCD}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{BD}\)

Do đó: \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\)(Hệ quả góc nội tiếp)

hay \(\widehat{IAD}=\widehat{ICB}\)

Xét ΔIAD và ΔICB có 

\(\widehat{IAD}=\widehat{ICB}\)(cmt)

\(\widehat{AID}=\widehat{CIB}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIAD\(\sim\)ΔICB(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{IA}{IC}=\dfrac{ID}{IB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(IA\cdot IB=IC\cdot ID\)(đpcm)

Dây dài nhất đi qua M là đường kính đi qua M của đường tròn.

Dây ngắn nhất đi qua M là dây đi qua M và vuông góc với OM tại M

Dộ dài dây dài nhất đi qua M là: 13 x 2 = 26 (cm)

Độ dài của dây ngắn nhất đi qua M là:  CD = CM x 2 

CD = 2x \(\sqrt{CO^2-OM^2}\) 

CD  = 2x\(\sqrt{13^2-5^2}\)

CD = 24 (cm)

Từ những lập luận trên ta có những dây đi qua M có độ dài là số tự nhiên là những dây có độ dài lần lượt là 24cm; 25cm; 26cm

Vậy có 3 dây đi qua M và có độ dài là số tự nhiên.

Xét (O) có 

OH là một phần đường kính

MN là dây

OH⊥MN tại H

Do đó: H là trung điểm của MN

=>HM=HN=MN/2=3(cm)

Xét ΔOHM vuông tại H có 

\(OM^2=OH^2+HM^2\)

hay OH=4cm