Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
13.
M \(=\)\(\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)\left(x+8\right)\)\(+16\)
\(=\)\(\left(x+2\right)\left(x+8\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)+16\)
\(=\left(x^2+10x+16\right)\left(x^2+10x+24\right)+16\)
\(=\left(x^2+10x+20-4\right)\left(x^2+10x+20+4\right)\) \(+16\)
\(=\left(x^2+10x+20\right)^2-16+16\)
\(=\left(x^2+10x+20\right)^2\) là một số chính phương
Nhiều quá, nhìn đã thấy ớn lạnh :(
Bạn nên chia nhỏ ra , post 1 hoặc 2 bài 1 lần thôi, đăng 1 lần 1 nùi thế này không ai dám làm đâu, bội thực chữ viết.
Bài 1a/
\(\frac{1}{1+x+xy}=\frac{xyz}{xyz+x+xy}=\frac{yz}{1+y+yz}\)
\(\frac{1}{1+z+xz}=\frac{y}{y+yz+xyz}=\frac{y}{1+y+yz}\)
Vậy \(M=\frac{1}{1+y+yz}+\frac{y}{1+y+yz}+\frac{yz}{1+y+yz}=1\)
Chiều về làm tiếp
Bài 1b:Lời giải này chủ yếu nhờ dự đoán trước Min là 2011/2012 đạt được khi x=2012
Ta có \(P=\frac{2012x^2-2.2012x+2012^2}{2012x^2}=\frac{\left(x-2012\right)^2+2011x^2}{2012x^2}\ge\frac{2011x^2}{2012x^2}=\frac{2011}{2012}\)
Bài 2: Dùng phân tích thành bình phương
\(10x^2+y^2+4z^2+6x-4y-4xz+5=\left(9x^2+6x+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)+\left(x^2-4xz+4z^2\right)\)
\(=\left(3x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(x-2z\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3x+1=0\\y-2=0\\x-2z=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{-1}{3}\\y=2\\z=-\frac{1}{6}\end{cases}}}\)
Bài 3:
a/\(pt\Leftrightarrow\left(x+6\right)\left(x-5\right)\left(x^2-x+1\right)=0\Leftrightarrow x=-6,x=5\)
b/ta phân tích vế trái thành:\(\left(3x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2+2\left(z+1\right)^2=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\\z=-1\end{cases}}\)
Bài 1:
\(x^2+\frac{1}{x^2}=2\Leftrightarrow (x+\frac{1}{x})^2-2.x.\frac{1}{x}=7\Leftrightarrow (x+\frac{1}{x})^2=9\)
\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}=3\) (do \(x>0\rightarrow x+\frac{1}{x}>0\))
\(\Rightarrow (x+\frac{1}{x})^3=27\)
\(\Leftrightarrow x^3+\frac{1}{x^3}+3x.\frac{1}{x}(x+\frac{1}{x})=27\)
\(\Leftrightarrow x^3+\frac{1}{x^3}+3.3=27\Leftrightarrow x^3+\frac{1}{x^3}=18\)
Do đó:
\(x^5+\frac{1}{x^5}=(x^2+\frac{1}{x^2})(x^3+\frac{1}{x^3})-(x+\frac{1}{x})=7.18-3=123\)
Bài 2:
Ta có:
\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\)
\(\Leftrightarrow 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2+y^2-2xy)+(y^2+z^2-2yz)+(z^2+x^2-2xz)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)
Ta thấy $(x-y)^2; (y-z)^2; (z-x)^2\geq 0, \forall x,y,z\in\mathbb{R}$
Do đó để $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0$ thì $(x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0$
Hay $x=y=z$
Thay vào điều kiện thứ 2:
$\Rightarrow x^{2016}+x^{2016}+x^{2016}=3^{2017}$
$\Leftrightarrow 3.x^{2016}=3^{2017}$
$\Leftrightarrow $x=3$
$\Rightarrow y=z=x=3$
Vậy $x=y=z=3$
Bài 1: 4a2-4ab+b2-9a2b2
=(2a)2-2.2a.b+b2-(3ab)2
=(2a-b)2-(3ab)2
=(2a-b-3ab)(2a-b+3ab)
a/ (4a2-4ab+b2)-9a2b2
= (2a-b)2-(3ab)2
= (2a-b-3ab) (2a-b+3ab)
Bài 1.
A = x2 + 2xy + y2 = ( x + y )2 = ( -1 )2 = 1
B = x2 + y2 = ( x2 + 2xy + y2 ) - 2xy = ( x + y )2 - 2xy = (-1)2 - 2.(-12) = 1 + 24 = 25
C = x3 + 3xy( x + y ) + y3 = ( x3 + y3 ) + 3xy( x + y ) = ( x + y )( x2 - xy + y2 ) + 3xy( x + y )
= -1( 25 + 12 ) + 3.(-12).(-1)
= -37 + 36
= -1
D = x3 + y3 = ( x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 ) - 3x2y - 3xy2 = ( x + y )3 - 3xy( x + y ) = (-1)3 - 3.(-12).(-1) = -1 - 36 = -37
Bài 2.
M = 3( x2 + y2 ) - 2( x3 + y3 )
= 3( x2 + y2 ) - 2( x + y )( x2 - xy + y2 )
= 3( x2 + y2 ) - 2( x2 - xy + y2 )
= 3x2 + 3y2 - 2x2 + 2xy - 2y2
= x2 + 2xy + y2
= ( x + y )2 = 12 = 1
Bài 1:
x3+y3=152=> (x+y)(x2-xy+y2)=152
Mà x2-xy+y2=19
=> 19(x+y)=152=> x+y=8
Ta cũng có x-y=2
=> x=5;y=3
Bài 2:
x2+4y2+z2=2x+12y-4z-14
=> x2+4y2+z2-2x-12y+4z+14=0
=> (x2-2x+1)+(4y2-12y+9)+(z2+4z+4)=0
=> (x+1)2+(2y-3)2+(z+2)2=0
=> (x+1)2=(2y-3)2=(z+2)2=0
=> x=-1;y=3/2;z=-2
Bài 3\(\left(\frac{1}{x^2+x}-\frac{1}{x+1}\right):\frac{1-2x+x^2}{2014x}=\left(\frac{1}{x\left(x+1\right)}-\frac{1}{x+1}\right):\frac{\left(1-x\right)^2}{2014x}=\frac{1-x}{x\left(x+1\right)}.\frac{2014x}{\left(1-x\right)^2}=\frac{2014}{\left(x+1\right)\left(1-x\right)}=\frac{2014}{1-x^2}\)
Bài 1:
\(x^2+y^2-2x-4y+5=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=0\)
Vì $(x-1)^2; (y-2)^2\geq 0$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì $(x-1)^2=(y-2)^2=0$
$\Rightarrow x=1; y=2$
Vậy...........
Bài 2:
Ta có:
\(a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0\)
\(\Leftrightarrow 2a(a-b)+2b(b-c)+2c(c-a)=0\)
\(\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0\)
Lập luận tương tự bài 1, ta suy ra :
\((a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0\Rightarrow a=b=c\)
Khi đó, thay $b=c=a$ ta có:
\(P=a^3+b^3+c^3-3abc+3ab-3c+5\)
\(=3a^3-3a^3+3a^2-3a+5=3a^2-3a+5\)
\(=3(a^2-a+\frac{1}{4})+\frac{17}{4}=3(a-\frac{1}{2})^2+\frac{17}{4}\geq \frac{17}{4}\)
Vậy $P_{\min}=\frac{17}{4}$
Giá trị này đạt được tại $b=c=a=\frac{1}{2}$
Bài 3:
Ta có:
\(x^2+4y^2+z^2=2x+12y-4z-14\)
\(\Leftrightarrow x^2+4y^2+z^2-2x-12y+4z+14=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2-2x+1)+(4y^2-12y+9)+(z^2+4z+4)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)^2+(2y-3)^2+(z+2)^2=0\)
Lập luận tương tự bài 1 ta suy ra:
\((x-1)^2=(2y-3)^2=(z+2)^2=0\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=\frac{3}{2}\\ z=-2\end{matrix}\right.\)
Vậy........
Bài 4:
Từ $x^2+x-3=0\Rightarrow x^2-3=-x$. Khi đó:
\(P=x^2+\frac{9}{x^2}=x^2+(\frac{3}{x})^2-2x.\frac{3}{x}+2.x.\frac{3}{x}\)
\(=(x-\frac{3}{x})^2+6=\left(\frac{x^2-3}{x}\right)^2+6=\left(\frac{-x}{x}\right)^2+6=(-1)^2+6=7\)
Vậy $P=7$
Bài 5:
Từ \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\)
\(\Leftrightarrow 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2xz+x^2)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)
\(\Rightarrow (x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0\)
\(\Rightarrow x=y=z\)
Kết hợp với $x+y+z=-3$ suy ra $x=y=z=-1$. Do đó:
\(A=x^{2017}+y^{2018}+z^{2019}=(-1)^{2017}+(-1)^{2018}+(-1)^{2019}\)
\(=(-1)+1+(-1)=-1\)
Vậy.........
Bài 6:
Từ đkđb suy ra \(x^3+y^3+z^3-x^2-y^2-z^2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2(x-1)+y^2(y-1)+z^2(z-1)=0(*)\)
Vì $x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow x^2,y^2,z^2\leq 1$
$\Rightarrow x,y,z\leq 1$
$\Rightarrow x^2(x-1)\leq 0; y^2(y-1)\leq 0; z^2(z-1)\leq 0$
Kết hợp với $(*)$ suy ra $x^2(x-1)=y^2(y-1)=z^2(z-1)=0$
$\Rightarrow x=0$ hoặc $x=1$; $y=0$ hoặc $y=1$; $z=0$ hoặc $z=1$
Kết hợp với $x+y+z=1$ suy ra $(x,y,z)=(1,0,0)$ và hoán vị
Nếu $x=1; y=z=0$: \(P=-2\)
Nếu $x=y=0; z=1$: $P=0$
Nếu $x=z=0; y=1$: $P=0$
Bài 7:
\(4a^2+2b^2+4ab-4a-6b+1=0\)
\(\Leftrightarrow (4a^2+4ab+b^2)+b^2-4a-6b+1=0\)
\(\Leftrightarrow (2a+b)^2+b^2-2(2a+b)-4b+1=0\)
\(\Leftrightarrow (2a+b)^2-2(2a+b)+1+(b^2-4b)=0\)
\(\Leftrightarrow (2a+b-1)^2=-(b^2-4b)=4-(b^2-4b+4)=4-(b-2)^2\)
\(\Leftrightarrow (P-1)^2=4-(b-2)^2\leq 4\)
\(\Rightarrow -2\leq P-1\)
\(\Rightarrow P\geq -1\)
Vậy GTNN của $P$ là $-1$. Giá trị này đạt tại $b=2; a=\frac{-3}{2}$
Bài 8:
a)
\(P=x^2+3y^2-2xy+2x-4y+5\)
\(=(x^2+y^2-2xy)+2y^2+2x-4y+5\)
\(=(x-y)^2+2y^2+2(x-y)-2y+5\)
\(=(x-y)^2+2(x-y)+1+(2y^2-2y+\frac{1}{2})+\frac{7}{2}\)
\(=(x-y+1)^2+2(y-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{2}\geq \frac{7}{2}\)
Vậy $P_{\min}=\frac{7}{2}$ khi \(\left\{\begin{matrix} x-y+1=0\\ y-\frac{1}{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
b)
\(Q=x^4-x^2+2x+1999=(x^4-2x^2+1)+(x^2+2x+1)+1997\)
\(=(x^2-1)^2+(x+1)^2+1997\geq 1997\)
Vậy $Q_{\min}=1997$ khi \((x^2-1)^2=(x+1)^2=0\Leftrightarrow x=-1\)
Bài 9:
Ta có:
\(x^2+4y^2-4y=15\)
\(\Leftrightarrow x^2=15-(4y^2-4y)=16-(4y^2-4y+1)\)
\(\Leftrightarrow x^2=16-(2y-1)^2\). Vì $(2y-1)^2\geq 0, \forall y\in\mathbb{R}$
\(\Rightarrow x^2\leq 16\Rightarrow x\leq 4\)
Vây GTLN của $x$ là $4$. Giá trị này đạt tại $(2y-1)^2=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}$
2a(a-b)+2b(b-c)+2c(c-a)=0 tại sao suy ra dòng dưới?
khong duy hai:
Nó là biến đổi tương đương mà bạn:
\(2a(a-b)+2b(b-c)+2c(c-a)=2a^2-2ab+2b^2-2bc+2c^2-2ca\)
\(=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)\)
\(=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\)