a) Gọi d là ƯCLN(n, n + 1), d ∈ N*

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n⋮d\\n+1⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)-n⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(n,n+1\right)=1\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{n}{n+1}\) là phân số tối giản.

b) Gọi d là ƯCLN(n + 1, 2n + 3), d ∈ N*

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(n+1,2n+3\right)=1\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{n+1}{2n+3}\) là phân số tối giản.

c) Gọi d là ƯCLN(21n + 4, 14n + 3), d ∈ N*

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}21n+4⋮d\\14n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(21n+4\right)⋮d\\3\left(14n+3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}42n+8⋮d\\42n+9⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(42n+9\right)-\left(42n+8\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(21n+4,14n+3\right)=1\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{21n+4}{14n+3}\) là phân số tối giản.

d) Gọi d là ƯCLN(2n + 3, 3n + 5), d ∈ N*

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\3n+5⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(2n+3\right)⋮d\\2\left(3n+5\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}6n+9⋮d\\6n+10⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(6n+10\right)-\left(6n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(2n+3,3n+5\right)=1\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{2n+3}{3n+5}\) là phân số tối giản.

a, Gọi d là ước chung của 21n + 4 và 14n + 3 \(\left(d\in Z,d\ne0\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}21n+4⋮d\\14n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

+) Vì : \(21n+4⋮d\Rightarrow2\left(21n+4\right)⋮d\Rightarrow42n+8⋮d\)

+) Vì : \(14n+3⋮d\Rightarrow3\left(14n+3\right)⋮d\Rightarrow42n+9⋮d\)

\(\Rightarrow\left(42n+9\right)-\left(42n+8\right)⋮d\)

\(\Rightarrow42n+9-48n-8⋮d\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1;-1\right\}\) => \(\dfrac{21n+4}{14n+3}\) là phân số tối giản

b, tương tự

c, Gọi d là ước chung của 2n + 3 và n² + 3n + 2 \(\left(d\in Z,d\ne0\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\n^2+3n+2⋮d\end{matrix}\right.\)

+) Vì \(2n+3⋮d\Rightarrow n\left(2n+3\right)⋮d\Rightarrow2n^2+3n⋮d\)

+) Vì : \(n^2+3n+2⋮d\Rightarrow2\left(n^2+3n+2\right)⋮d\Rightarrow2n^2+6n+4⋮d\)

Mà : \(2n^2+3n⋮d\)

\(\Rightarrow\left(2n^2+6n+4\right)-\left(2n^2+3n\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2n^2+6n+4-2n^2-3n⋮d\Rightarrow3n+4⋮d\)

\(\Rightarrow2\left(3n+4\right)⋮d\Rightarrow6n+8⋮d\)

Vì : \(2n+3⋮d\Rightarrow3\left(2n+3\right)⋮d\Rightarrow6n+9⋮d\)

\(\Rightarrow\left(6n+9\right)-\left(6n+8\right)⋮d\)

\(\Rightarrow6n+9-6n-8⋮d\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{-1;1\right\}\Rightarrow\dfrac{2n+3}{n^2+3n+2}\) là phân số tối giản

d, tương tự câu c

Mình làm 1 câu thôi các câu sau bạn làm theo mẫu nhé

Gọi d là UCLN(21n+4;14n+3)

\(\Leftrightarrow21n+4⋮d\Rightarrow2\left(21n+4\right)⋮d\Rightarrow42n+8⋮d\)

\(\Leftrightarrow14n+3⋮d\Rightarrow3\left(14n+3\right)⋮d\Rightarrow42n+9⋮d\)

Vì

\(42n+8;42n+9⋮d\)

\(\Leftrightarrow\left(42n+9\right)-\left(42n+8\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{21n+4}{14n+3}\)tối giản với mọi n

Bài 8:

Gọi ƯCLN(5n + 6; 8n + 7) = d

Khi đó: (5n + 6) ⋮ d và (8n + 7) ⋮ d

[40n + 48] ⋮ d và [40n + 35] ⋮ d

[40n +48 - 40n - 35] ⋮ d

[(40n - 40n) + (48 - 35)] ⋮ d

[0 + 13] ⋮ d

13 ⋮ d

d = 1; 13

phân số có thể rút gọn được cho 13.

Bài 9:

Gọi ƯCLN(18n + 3; 21n + 7) = d khi đó:

[18n + 3] ⋮ d và (21n + 7) ⋮ d

[126n + 21] ⋮ d và (126n + 42) ⋮ d

[126n + 42 - 126n - 21] ⋮ d

[(126n - 126n) + (42 - 21)] ⋮ d

21 ⋮ d

d ∈ {1; 3; 7; 21}

Nếu d = 3 thì (21n + 7) ⋮ 3 suy ra 7 ⋮ 3 (vô lí)

Nếu d = 21 thì (21n + 7) ⋮ 3 suy ra 7 ⋮ 21 (vô lí)

Vậy d = 7 khi đó: (18n + 3) ⋮ 7

[21n - 18n - 3] ⋮ 7

[3n - 3] ⋮ 7

[3(n -1)] ⋮ 7

(n - 1) ⋮ 7

n = 7k + 1

Vậy để phân số tối giản thì n ≠ 7k + 1

Gọi d là ước chung nguyên tố của 2n + 3 và 4n + 1

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+1⋮d\end{matrix}\right.\)

+) Vì : \(2n+3⋮d;2\in N\)

\(\Rightarrow2\left(2n+3\right)⋮d\Rightarrow4n+6⋮d\)

Mà : \(4n+1⋮d\)

\(\Rightarrow\left(4n+6\right)-\left(4n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow4n+6-4n-1⋮d\Rightarrow5⋮d\)

\(\Rightarrow\) d là ước của 5 ; d nguyên tố

\(\Rightarrow d=5\)

Với \(d=5\Rightarrow4n+1⋮5\)

\(\Rightarrow5n-n+1⋮5\Rightarrow5n-\left(n-1\right)⋮5\)

Vì : \(n\in N\Rightarrow5n⋮5\)

\(\Rightarrow n-1⋮5\Rightarrow n-1=5k\Rightarrow n=5k+1\)

Thử lại : n = 5k + 1 ( \(k\in N\))

\(2n+3=2\left(5k+1\right)+3=10k+5=5\left(2k+1\right)⋮5\)

\(4n+1=4\left(5k+1\right)+1=20k+5=5\left(4k+1\right)⋮5\)

\(\Rightarrow\) Với n = 5k + 1 thì phân số trên rút gọn được

\(\Rightarrow n\ne5k+1\) thì phân số trên tối giản

Vậy \(n\ne5k+1\)

Hai câu cuối tương tự

BÀi 1

Để A \(\in\) Z

=>\(\left(n+2\right)⋮\left(n-5\right)\)

=>\([\left(n-5\right)+7]⋮\left(n-5\right)\)

=>\(7⋮\left(n-5\right)\)

=>\(n-5\in\left\{1;7;-1;-7\right\}\)

=>\(n\in\left\{6;13;4;-2\right\}\)

Vậy \(n\in\left\{6;13;4;-2\right\}\)

a) \(\dfrac{n+4}{n+3}=\dfrac{n+3+1}{n+3}=\dfrac{n+3}{n+3}+\dfrac{1}{n+3}=1+\dfrac{1}{n+3}\)

=> n+3 \(\in\) Ư(1) = {-1,1}

Ta có : n+3 = -1

n = (-1)-3

n = -4

n+3 = 1

n = 1-3

= -2

Vậy n = -4 hoặc -2

b) \(\dfrac{n-1}{n-2}=\dfrac{n-2+1}{n-2}=\dfrac{n-2}{n-2}+\dfrac{1}{n-2}=1+\dfrac{1}{n-2}\)

=> n-2 \(\in\) Ư(1) = {-1,1}

Ta có : +) n-2= -1

n=(-1)+2

n=1

+) n-2 = 1

n=1+2

n=3

Vậy n=1 hoặc 3

c) \(\dfrac{2n+3}{4n+7}\)

Gọi ƯCLN(2n+3,4n+7) = d

Ta có : 2n+3\(⋮\)d => 2(2n+3) = 4n+6 \(⋮\) d

4n+7 \(⋮\) d

=> (4n+6)-(4n+7) \(⋮\) d

=> -1 \(⋮\) d

=> d = Ư(-1) = {-1,1}

Để phân số tối giản

=> ƯC(4n+6,4n+7)=1

=> d = -1 hoặc 1

d) \(\dfrac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\)

Gọi d là ƯCLN của n³+2n và n⁴+3n²+1

=> n³ + 2n chia hết cho d và n⁴ + 3n² + 1 \(⋮\) d

=> n(n³ + 2n) = n⁴ + 2n² \(⋮\) d

=> (n⁴ + 3n² + 1) -(n⁴ + 2n²) = n² + 1 \(⋮\) d

=> (n² + 1)² = n⁴ + 2n² + 1 \(⋮\) d

=> (n⁴ + 3n² + 1) - ( n⁴ + 2n² + 1 ) = n² \(⋮\) d

=> n² + 1 - n² = 1 \(⋮\) d

Bài 8:

Bài 8:

Gọi ƯCLN(5n + 6; 8n + 7) = d

Khi đó: (5n + 6) ⋮ d và (8n + 7) ⋮ d

[40n + 48] ⋮ d và [40n + 35] ⋮ d

[40n +48 - 40n - 35] ⋮ d

[(40n - 40n) + (48 - 35)] ⋮ d

[0 + 13] ⋮ d

13 ⋮ d

d = 1; 13

phân số có thể rút gọn được cho 13.

Gọi ƯCLN(18n + 3; 21n + 7) = d khi đó:

[18n + 3] ⋮ d và (21n + 7) ⋮ d

[126n + 21] ⋮ d và (126n + 42) ⋮ d

[126n + 42 - 126n - 21] ⋮ d

[(126n - 126n) + (42 - 21)] ⋮ d

21 ⋮ d

d ∈ {1; 3; 7; 21}

Nếu d = 3 thì (21n + 7) ⋮ 3 suy ra 7 ⋮ 3 (vô lí)

Nếu d = 21 thì (21n + 7) ⋮ 3 suy ra 7 ⋮ 21 (vô lí)

Vậy d = 7 khi đó: (18n + 3) ⋮ 7

[21n - 18n - 3] ⋮ 7

[3n - 3] ⋮ 7

[3(n -1)] ⋮ 7

(n - 1) ⋮ 7

n = 7k + 1

Vậy để phân số tối giản thì n ≠ 7k + 1

a, Gọi d = ƯCLN(n+1,2n+3) (d thuộc N*)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2n+3-\left(2n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

=> d = 1

=> đpcm

b, Gọi d = ƯCLN(2n+3,4n+8) (d thuộc N*)

ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4n+8-\left(4n+6\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)

Mà 2n + 3 là số lẻ

=> d = 1

=> đpcm

c, Gọi d = ƯCLN(3n+2,5n+3) (d thuộc N*)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}3n+2⋮d\\5n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}15n+10⋮d\\15n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow15n+10-\left(15n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

=> d = 1

=> đpcm

, Gọi d = ƯCLN(n+1,2n+3) (d thuộc N*)

Ta có:

=> d = 1

=> đpcm

b, Gọi d = ƯCLN(2n+3,4n+8) (d thuộc N*)

ta có:

Mà 2n + 3 là số lẻ

=> d = 1

=> đpcm

c, Gọi d = ƯCLN(3n+2,5n+3) (d thuộc N*)

Ta có:

=> d = 1

=> đpcm