Sai đề ở vế phải. Cái này tôi làm rồi nên biết:  819598 (học 24)

BDT cần cm tương đương

\(\frac{\left(2+6a+3b+6\sqrt{2bc}\right)\left(\sqrt{2b^2+2\left(a+c\right)^2}+3\right)}{2a+b+2\sqrt{2bc}}\ge16\)

Áp dụng bdt C-S và AM-GM:

\(VT=\frac{\left(2+6a+3b+6\sqrt{2bc}\right)\left(\sqrt{2b^2+2\left(a+c\right)^2}+3\right)}{2a+b+2\sqrt{2bc}}\)

\(=\left(\frac{2}{2a+b+2\sqrt{2bc}}+3\right)\left(\sqrt{2\left(b^2+\left(a+c\right)^2\right)}+3\right)\)

\(\ge\left(\sqrt{2\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2}}+3\right)\left(\frac{2}{2a+b+b+2c}+3\right)\)

\(=\left(a+b+c+3\right)\left(\frac{1}{a+b+c}+3\right)\)

\(\ge\left(3+1\right)^2=16=VP\)

dau '=' khi a+b+c=1, b=a+c, 2c=b bn tự giải not

Chuyên toán Vĩnh Phúc đây mà :) Em chụp lại nha,chớ e mà viết ra nhiều người nhảy vào cà khịa ghê lắm:(

Viết BĐT về dạng \(\frac{2}{2a+b+2\sqrt{2bc}}-\frac{16}{\sqrt{2b^2+2\left(a+c\right)^2}+3}\ge0\)

Ta có: \(\frac{2}{2a+b+2\sqrt{2bc}}\ge\frac{2}{2a+b+b+2c}=\frac{1}{a+b+c}\)

Đẳng thức xảy ra <=> b=2c

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(a+b+c\right)^2\le\left(1+1\right)\left[\left(a+c\right)^2+b^2\right]\)

\(\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{2\left(a+c\right)^2+2b^2}\)

\(\Rightarrow-\frac{16}{\sqrt{2b^2+2\left(a+c\right)^2}+3}\ge-\frac{16}{a+b+c+3}\)

Đẳng thức xảy ra <=> a+c=b

\(\Rightarrow\frac{2}{2a+b+2\sqrt{bc}}-\frac{16}{\sqrt{2b^2+2\left(a+c\right)^2}+3}+3\ge\frac{1}{a+b+c}-\frac{16}{a+b+c+3}+3\)

\(=\frac{3\left(a+b+c-1\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a+b+c+3\right)}\ge0\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c-1=0\\b=2c\\a+c=b\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=c=\frac{1}{4}\\b=\frac{1}{2}\end{cases}}}\)