a) hỢP số

a/ A luôn là hợp số vì A luôn chia hết cho 3

b/ <=> 144 = \(\frac{\left(2n+1+1\right).}{2}\) x( \(\frac{\left(2n+1-1\right)}{2}\) +1)

<=> n = 11

Đặt n² + 2006 = a² (a ∈Z)

=> 2006 = a² - n² = (a - n)(a + n) (1)

Mà (a + n) - (a - n) = 2n chia hết cho 2

=>a + n và a - n có cùng tính chẵn lẻ

+)TH1: a + n và a - n cùng lẻ => (a - n)(a + n) lẻ, trái với (1)

+)TH2: a + n và a - n cùng chẵn => (a - n)(a + n) chia hết cho 4, trái với (1)

Vậy không có n thỏa mãn n²+2006 là số chính phương

b)Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 => n không chia hết cho 3

=> n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 (k∈N*)

+) n = 3k + 1 thì n² + 2006 = (3k + 1)² + 2006 = 9k² + 6k + 2007 chia hết cho 3 và lớn hơn 3

=> n² + 2006 là hợp số 

+) n = 3k + 2 thì n² + 2006 = (3k + 2)² + 2006 = 9k² + 12k + 2010 chia hết cho 3 và lớn hơn 3

=> n² + 2006 là hợp số

Vậy n² + 2006 là hợp số

n là số nguyên tố lớn hơn 3 => n² đồng dư với 1 (mod 3)

n2+2006 đồng dư với 1+2006 (mod 3)

<=> n² + 2006 đồng dư với 2007 (mod 3) đồng dư với 0 (mod 3) (*Vì 2007 chia hết 3*)

=> n² +2006 chia hết 3

Vậy n² +2006 là hợp số

Vì n là một số nguyên nên n^2 là số chính phương

n không chia hết c ho 3 nên n^2 chia 3 dư 1 tính chất số chính phương

Vậy với n là số nguyên và n không chia hết cho 3 thì n^2 chia 3 dư 1.

Câu b:

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3

Suy ra p^2 : 3 dư 1 nên p^2 = 3k + 1

p^2 + 2003 = 3k+ 1 + 2003 = 3k + 2004 chia hết cho 3

Vậy p^2+ 2003 là hợp số

Câu 5:

Giải:

Nếu p = 2 thì p+ 2 = 2 + 2 = 4 (loại vì 4 là hợp số)

Nếu p = 3 thì: p + 2 = 3 + 2 = 5(thỏa mãn)

p + 6 = 3 + 6 = 3 + 6 = 9 (loại vì 9 là hợp số)

Nếu p = 4 thì p + 2 = 6(loại vì 6 là hợp số)

Nếu p = 5 thì: p + 2 = 5 + 2 = 7(thỏa mãn)

p + 6 = 5 + 6 = 11(thỏa mãn)

p + 8 = 5 + 8 = 13(thỏa mãn)

p + 12 = 5 + 12 = 17(thỏa mãn)

p + 14 = 5 + 14 = 19(thỏa mãn)

Nếu p > 5 thì: p = 5k + 1; p = 5k + 2; p = 5k + 3; p = 5k + 4

TH1: p = 5k + 1 thì

p + 14 = 5k + 1 + 14 = 5k + (1+ 14) = 5k+ 15 (loại vì đây là hợp số)

Th2: p = 5k + 2 thì:

p + 8 = 5k+ 2 + 8 = 5k + (2+ 8) = 5k + 10 (loại vì đây là hợp số)

TH3: p = 5k+ 3 thì:

p + 12 = 5k + 3 + 12 = 5k + (3+ 12) = 5k+ 15 (loại vì đâu là hợp số)

Th4 p = 5k+ 4 thì:

p + 6 = 5k+ 4 + 6 = 5k + (4+ 6) = 5k+ 10 (loại vì đây là hợp số)

Từ những lập luận trên ta có: p = 5 là số duy nhất thỏa mãn đề bài.

n>3=>n không chia hết cho 3

=>n² không chia hết cho 3

=>n²=3q+1(tính chất của số chính phương)

=>n²+2012=3q+1+2012=3q+2013=3(q+671) chia hết cho 3

=>n²+2012 là hợp số

b) n chia cho 17 dư 13 => n - 13 chia hết cho 17

n chia cho 37 dư 23 => n - 23 chia hết cho 23

=> 2n - 26 chia hết cho 17 => 2n - 26 + 17 = 2n - 9 chia hết cho  17

 2n - 46 chia hết cho 37 => 2n - 46 + 37 = 2n - 9 chia hết cho 37

=> 2n - 9 chia hết cho 17 và 37. 17 và 37 nguyên tố cùng nhau nên

2n - 9 chia hết cho 17.37 = 629

=> 2n - 9 + 629 chia hết cho 629 

Hay 2n + 620 chia hết cho 629

mà 2n + 620 = 2.(n + 310) nên 2.(n + 310) chia hết cho 629 . vì 2 và 629 nguyên tố cùng nhau nên n + 310 chia hết cho 629

=> n chia cho 629 dư  319 (629 - 310 = 319)

Bài 2 :

Với p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p chỉ có dạng hoặc 3k + 1 hoặc 3k + 2

+ Nếu p = 3k + 1 => 2p + 1 = 2 . ( 3k + 1 ) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 \(⋮\)3 và lớn hơn 3 là hợp số ( loại )

Vì p ko có dạng 3k + 1 nên p có dạng 3k + 2

Với p = 3k + 2 thì 4p + 1 = 4 . ( 3k + 2 ) + 1 = 12k + 8 + 1 = 12k + 9 là hợp số

Vậy ...

Bài 1 :

Ta có \(1994^{100}-1,1994^{100},1994^{100}+1\) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3 mà \(1994^{100}\)có tổng các chữ số là \(1+9+9+4=123\)không chia hết 3 nên \(1994^{100}\)không chia hết cho 3 nên trong 2 số còn lại ít nhất có một số chia hết cho 3 ,số đó không thể là số nguyên tố 

Vậy \(1994^{100}-1\)và \(1994^{100}+1\)không thể đồng thời là số nguyên tố

Bài 2

Do P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên 4p không chia hết cho 3 ,tương tự \(4p+2=2\left(2p+4\right)\)cũng không chia hết cho 3

Mà \(4p,4p+1,4p+2\)là 3 số tự nhiên liên tiếp nên ít nhất phải có 1 số chia hêt cho 3 .Do đó \(4p+1⋮3\)mà \(4p+1>13\)nên \(4p+1\)là hợp số 

Chúc bạn học tốt ( -_- )

dễ mà

ta thấy n^2 là 1 số chính phương mà 1 số chính phương chia 3 dư 0 ;1

do n là snt >3=>n^2chia 3 dư1

=>n^2=3k+1

=>n^2+2006=3k+1+2006=3k+2007=3(k+669) chia hết cho 3

vậy n^2+2006 là hợp số

hop so

- Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 =) n là số lẻ 
Mà n^2 = n.n = số lẻ . số lẻ = số lẻ
Mà 2015 cũng là số lẻ 
=) n^2+2015=số lẻ + số lẻ = số chẵn chia hết cho 2
Vậy n^2+2015 chia hết cho 1 , 2  và chia hết cho chính nó 
=) n^2+2015 nhiều hơn 2 ước =) Là hợp số 

Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3

=> n không chia hết cho 3

=> n² chia 3 dư 1

=> n² = 3k + 1 ( k \(\inℕ^∗\))

=> n² + 2015 = 3k + 1 + 2015 = 3k + 2016

Mà \(\hept{\begin{cases}3k⋮3\\2016⋮3\end{cases}}\)=> n² + 2015 là hợp số.