Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a. Đặt A = 1993 - 199
= 199(1992-1)
= 199(199-1)(199+1)
= 199 . 198 . 200
Vì 200 \(⋮\) 200 nên A \(⋮\) 200 (đpcm)
Ta có: \(\dfrac{n^3-1}{n^3+1}=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)}{\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)}=\dfrac{\left(n-1\right)[\left(n+0,5\right)^2+0,75]}{\left(n+1\right)[\left(n-0,5\right)^2+0,75]}\)
Thay vào M ta có:
\(M=\dfrac{2,5^2+0.75}{3.\left(1,5^2+0,75\right)}.\dfrac{2.\left(3,5^2+0,75\right)}{4.\left(2,5^2+0,75\right)}...\dfrac{99[\left(100,5\right)^2+0,75]}{101.[\left(99,5\right)^2+0,75}\)
\(=\dfrac{1.2.3...99}{3.4.5...101}.\dfrac{\left(2,5^2+0,75\right).\left(3,5^2+0,75\right)...[\left(100,5\right)^2+0,75]}{\left(1,5^2+0,75\right).\left(2,5^2+0,75\right)...[\left(99,5\right)^2+0,75]}\)\(=\dfrac{1.2}{100.\left(101\right)}.\dfrac{\left(100,5\right)^2+0,75}{1,5^2+0,75}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left(100^2+100+1\right)}{3.100.101}>\dfrac{2}{3}\left(đpcm\right)\)
<=>2(x\(^2\)+8x+10)=0
<=>x\(^2\)+8x+10=0
<=>x\(^2\)+8x+16=26
<=>(x+4)\(^2\)=26
<=>x+4= \(\sqrt{26}\) hoặc -\(\sqrt{26}\)
<=>x=\(\sqrt{26}\)- 4 hoặc -\(\sqrt{26}\)-4
Vậy pt có tập nghiệm S={\(\sqrt{26}\)- 4 ;-\(\sqrt{26}\)- 4}
b) 1x2+5x+61x2+5x+6+1x2+7x+121x2+7x+12+1x2+9x+201x2+9x+20+1x2+11x+301x2+11x+30=2
<=>\(\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}\)+\(\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}\)+\(\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}\)+\(\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}\)=2
<=>\(\frac{1}{x+2}\)-\(\frac{1}{x+3}\)+\(\frac{1}{x+3}\)-\(\frac{1}{x+4}\)+\(\frac{1}{x+4}\)-\(\frac{1}{x+5}\)+\(\frac{1}{x+5}\)-\(\frac{1}{x+6}\)=2
<=>\(\frac{1}{x+2}\)-\(\frac{1}{x+6}\)=2
<=>\(\frac{4}{\left(x+2\right)\left(x+6\right)}\)=\(\frac{2x^2+16x+24}{\left(x+2\right)\left(x+6\right)}\)
<=>4=2x\(^2\)+16x+24
<=>2x\(^2\)+16x+20=0
...
5. phân tích ra : \(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)
áp dụng bđ cosy
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)
=> đpcm
6. \(x^2-x+1=x^2-2.\dfrac{1}{2}.x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
hay với mọi x thuộc R đều là nghiệm của bpt
7.áp dụng bđt cosy
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^2.b^2.c^2.d^2}=4abcd\left(đpcm\right)\)
a. Ta có : \(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\)
\(\Rightarrow a^2-2a+1\ge0\\ \Rightarrow a^2+1\ge2a\left(đpcm\right)\)
b.
Theo câu a, ta có \(a^2+1\ge2a,\\ b^2+1\ge2b,\\ c^2+1\ge2c\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+1}\le\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{b}{b^2+1}\le\frac{b}{2b}=\frac{1}{2},\frac{c}{c^2+1}\le\frac{c}{2c}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\le\frac{3}{2}\)
Câu này chắc chắn có bạn trả lời được thôi. Dùng đồng dư hoặc hàm euler.
câu a: Mình gợi ý chứng minh M chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên M không là số chính phương.
a, Nguyên lý đirichle cứu với!!!!!!!! | Diễn đàn HOCMAI - Cộng đồng học tập lớn nhất Việt Nam
b, Ta có: \(20^5\equiv1\left(mod11\right)\)
\(\left(20^5\right)^3\equiv1^3\equiv1\left(mod11\right)\)
Tương ứng với \(20^{15}\) : 11 dư 1
=> 2015 - 1 \(⋮\) 11 (đpcm)
c, Có: \(2^{30}\equiv12\left(mod13\right)\);
\(3^{15}\equiv1\left(mod13\right)\)
\(\left(3^{15}\right)^2\equiv1^2\equiv1\left(mod13\right)\)
<=> \(2^{30}+3^{30}\) \(\equiv12+1\equiv13\left(mod13\right)\)
Vì 13 chia hết cho 13 nên 230 + 330 chia hết cho 13 (đpcm)
d, tượng tự b
Lời giải:
a) Dễ thấy \(M\) chẵn nên $M$ chia hết cho $2$
Nếu $M$ là một số chính phương thì khi đó $M$ phải chia hết cho cả $4$
Ta thấy:
\(94^{100}\equiv 0\pmod 4\)
\(1994^{100}\equiv 0\pmod 4\)
\(1+9^{100}\equiv 1+1^{100}\equiv 2\pmod 4\)
Do đó \(M\equiv 2\pmod 4\), tức là $M$ chia hết cho $2$ mà không chia hết cho $4$, nên $M$ không thể là số chính phương.
b) Với \(11\in\mathbb{P}\) và \((20,11)=1\) thì áp dụng định lý Fermat:
\(20^{10}\equiv 1\pmod {11}\)\(\Rightarrow 20^{15}-1\equiv 20^5-1\pmod {11}\)
Ta có \(20\equiv -2\pmod {11}\Rightarrow 20^5-1\equiv (-2)^5-1\equiv -33\equiv 0\pmod {11}\)
Suy ra \(20^{15}-1\equiv 0\pmod {11}\) (đpcm)
c) Áp dụng định lý Fermat nhỏ:
\(\left\{\begin{matrix} 2^{12}\equiv 1\pmod {13}\\ 3^{12}\equiv 1\pmod {13}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2^{30}+3^{30}=2^{12.2}.2^6+3^{12.2}.3^6\equiv 2^6+3^6\pmod{13}\)
Mà \(\left\{\begin{matrix} 2^6\equiv -1\pmod {13}\\ 3^6\equiv 1\pmod {13}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2^6+3^6\equiv 0\pmod {13}\)
Suy ra \(2^{30}+3^{30}\equiv 0\pmod {13}\)
d) Đây chính là định lý Fermat nhỏ, áp dụng với \(29\in\mathbb{P}\) và \((2,29)=1\) ta có luôn đpcm.
@phynit @Bùi Thị Vân @Toshiro Kiyoshi @Quang Duy
@Akai Haruma, @Ace Legona
@Nguyễn Huy Tú
Thưa cô, dùng đồng dư thì chứng minh như thế nào ạ?
sao \(20^5\equiv1\left(mod11\right)\) thế?
Áp dụng đồng dư /-/ cái này bấm máy tính ra mà Nguyễn Huy Tú
\(20^{15}:11\) dư 1, 1 chia 11 dư 10 mà -.-
Nguyễn Huy Tú mời thím ngồi ngay ngắn nhận của t 1 lạy == 1 : 11 dư 10 :v
2015 chia 11 dư 1, tức là nó bị thừa 1. bây giờ đang thừa 1 thì trừ đy 1 tất nhiên là hông còn thừa
--> 2015 - 1 chia hết cho 11 rồi còn j -. Hiều chưa ạ +T+
-.- cái đó t biết, nhưng sao \(20^5\equiv1\left(mod11\right)\), chị giải thích rõ chút, em mới học ạ
Nguyễn Huy Tú Bấm máy tính || quy trình
20^5 --> alpha+\(\div R11\) --> ''=''
Kết quả: 290909, R = 1
Cái dấu \(\equiv\) là kí hiệu của đồng dư
(mod11) là mô-đun 11
P/s: Cạn lời rồi T-T
-.- ok hiểu r` :v, tks
Câu a $M$ chia hết cho $9$ mà cô :)