Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{2013}}\)
\(2A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2012}}\)
\(2A-A=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2012}}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{2013}}\right)\)
\(A=1-\frac{1}{2^{2013}}\)
\(A=\frac{2^{2013}-1}{2^{2013}}\)
Vậy \(A=\frac{2^{2013}-1}{2^{2013}}\)
Chúc bạn học tốt ~
A = 1/3.3/4.5/6...99/100
B = 2/3.4/5.6/7...100/101
Chứng minh A < B
Với: a; b; n ∈ N*; a < b ta có:
\(\frac{a}{b}\) = 1 - \(\frac{b-a}{b}\); \(\frac{a+n}{b+n}\) = 1 - \(\frac{b-a}{b+n}\)
Vì a < b nên b - a > 0
\(\frac{b-a}{b}\) > \(\frac{b-a}{b+n}\)
\(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+n}{b+n}\) (1) (hai phân số, phân số nào có phần bù nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn)
Áp dụng công thức (1) ta có:
\(\frac34\) < \(\frac{3+1}{4+1}=\frac45\)
\(\frac56<\frac{5+1}{6+1}=\frac67\)
.................................
\(\frac{99}{100}<\frac{99+1}{100+1}=\frac{100}{101}\)
Nhân vế với vế ta được:
3/4.5/6....99/100 < 4/5.6/7....100/101
suy ra:
A = 1/3.3/4.5/6....99/100 < 2/3.4/5.6/7..100/101 = B
A < B (Đpcm)
Câu b:
A = 1/3.3/4.5/6...99/100
B = 2/3.4/5.6/7...100/101
A.B = 1/3.3/4.5/6...99/100.2/3.4/5....100/101
A.B = \(\frac{1.3.5\ldots99}{3.5.7.\ldots101}\).\(\frac{2.4.6\ldots100}{3.4.6.\ldots100}\)
A.B = 1/101.2/3
A.B = 2/303
A = 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + ... + 1/50^2
1/3^2 = 1/9
1/4^2 < 1/3.4 = 1/3 - 1/4
1/5^2 < 1/4.5 = 1/4 - 1/5
.............................................
1/50^2 < 1/49.50 = 1/49 - 1/50
Cộng vế với vế ta có:
A = 1/3^2+1/4^2+..+1/50^2 = 1/9 + 1/3 - 1/50
A = 4/9 - 1/50 < 4/9
1/3^2 = 1/9
1/4^2 > 1/4.5 = 1/4 - 1/5
1/5^2 > 1/5.6 = 1/5 - 1/6
............................................
1/50^2 > 1/49.50 = 1/49 - 1/50
Cộng vế với vế ta có:
A = 1/3^2+1/4^2+ ...+ 1/50^2 > 1/9+1/4-1/50
A > 1/4 + (1/9 - 1/50)
1/9 > 1/50
1/9 - 1/50 > 0
A > 1/4 + 1/9 - 1/50 > 1/4
Vậy 1/4 < A < 4/9 (đpcm)
A. \(\frac{3}{4}\) x \(\frac{8}{9}\)x \(\frac{15}{16}\)x .... x \(\frac{899}{900}\)
= \(\frac{1.3}{2^2}\) x \(\frac{2.4}{3^3}\)x \(\frac{3.5}{4^2}\)x ... x \(\frac{29.31}{30^2}\)
= \(\left(\frac{1.2.3...29}{2.3.4...30}\right).\left(\frac{3.4.5...31}{2.3.4...30}\right)\)
= \(\frac{1}{30}.\frac{31}{2}\)= \(\frac{31}{60}\)
B.
\(\frac{1}{3}+\frac{3}{8}-\frac{7}{12}=\frac{8}{24}+\frac{9}{24}-\frac{14}{24}=\frac{8+9-14}{24}=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}\)
Bài 2:
a; -8/9 và -7/9
Vì 8/9 > 7/9
- 8/9 < - 7/9 (nhân cả hai vế của bất đẳng thức với một số âm thì dấu của bất đẳng thức đổi chiều.
ta có 1/2 * 3/ 4 * 5/6 *... * 79/80 = 0.0889
so sánh a với 1/9
0.0889 < 0.(1)
=> A < 1/9
\(A=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+...+\frac{1}{3^{2014}}\)
\(3A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{2013}}\)
\(3A-A=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{2013}}\right)-\left(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+...+\frac{1}{3^{2014}}\right)\)
\(2A=\frac{1}{3}-\frac{1}{3^{2014}}\)
\(A=\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{3^{2014}}}{2}\)