a) Ta có :  \(\left(x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}\ge2\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}\ge2\)(vì x > 0)

b) \(\left(x+1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+2x+1\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge-2x\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}\le-2\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}\le-2\)(vì x < 0)

a) Ta có: \(x+\frac{1}{x}-2=\frac{x^2-2x+1}{x}=\frac{\left(x-1\right)^2}{x}\)

Vì \(x>0,\left(x-1\right)^2\ge0\)nên \(x++\frac{1}{x}-2\ge0\)

Vậy \(x+\frac{1}{x}\ge2\)vs \(x>0\)

b) Ta có: \(x+\frac{1}{x}+2=\frac{x^2+2x+1}{x}=\frac{\left(x+1\right)^2}{x}\)

Vì \(x< 0,\left(x+1\right)^2\le0\), nên \(x+\frac{1}{x}\le0\)

Vậy \(x+\frac{1}{x}\le-2\)vs \(x< 0\)

Bài 1:

Áp dụng BĐt cauchy dạng phân thức:

\(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\ge\dfrac{4}{3\left(x+y\right)}\)

\(\Rightarrow\left(3x+3y\right)\left(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\right)\ge\left(3x+3y\right).\dfrac{4}{3x+3y}=4\)

dấu = xảy ra khi 2x+y=x+2y <=> x=y

Bài 2:

ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\ge\dfrac{4^2}{a+b+c+d}=\dfrac{16}{a+b+c+d}\)(theo BĐt cauchy-schwarz)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b+c+d}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)\)

Áp dụng BĐT trên vào bài toán ta có:

\(A=\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)\(A\le\dfrac{1}{16}.4\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

......

dấu = xảy ra khi a=b=c

Bài 2:

Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương:

\(a^2+1\ge2a\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\le\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\)

thiết lập tương tự:\(\dfrac{b}{b^2+1}\le\dfrac{1}{2};\dfrac{c}{c^2+1}\le\dfrac{1}{2}\)

cả 2 vế các BĐT đều dương ,cộng vế với vế,ta có dpcm

dấu = xảy ra khi a=b=c=1

a) Áp dụng BĐT Cô sy cho 2 số dương x và 1/x.

\(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}=2}\)Dấu bằng xảy ra khi \(x=\frac{1}{x}\)với x>0 thì x=1.

b). Nhân 2 vế với (-1) Viết BĐT thành: \(-x+\frac{1}{-x}\ge2\). Với x<0 thì -x>0 áp dụng BĐT phần a) cho số -x dương.

Bạn hỏi câu này có lẽ bạn chưa biết BĐT côsi, mk sẽ trình bày từ bước chứng minh BĐT

Ta có: \(\left(m-n\right)^2\ge0\)

<=> \(m^2-2m.n+n^2\ge0\)

<=> \(m^2+2m.n+n^2-4m.n\ge0\)

<=> \(\left(m+n\right)^2\ge4m.n\)

=> \(m+n\ge2\sqrt{m.n}\) ( BĐT côsi)

a, Áp dụng BĐT côsi ta có:

\(\dfrac{1}{x}+x\ge2\sqrt{\dfrac{1}{x}.x}=2\)

vậy \(\dfrac{1}{x}+x\ge2\) (x>0)

b, Áp dụng BĐT côsi ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)

vậy \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\) với a, b >0

-----------Chúc bạn học tốt -------------

Đáp án :

1- C

2-A

3-B

4-D

5-

6-D

7-A

8-B

9-

10-D

11-

12-B

13-B

14-C

15-

16-D

17-

18-D

19-D

20-D

Câu 1:Trong các pt sau đây, pt nào là pt bậc nhất một ẩn

A.x-1=x+2 B.(x-1)(x+2)=0 C.ax+b=0 D.2x+1=3x+5

Câu2: x=-2 là nghiệm của pt nào ?

A.3x-1=x-5 B.2x-1=x+3 C.x-3=x-2 D.3x+5=-x-2

Câu 3: x-4 là nghiệm của pt

A.3x-1=x-5 B.2x-1=x+3 C.x-3=x-2 D.3x+5=-x-2

Câu 4: Pt x+9=9+x có nghiệm là

A.S=R B.S=9 C.S rỗng D. S thuộc R

Câu 5: cho 2pt: x(x-1)=0(1) và 3x-3=0 (2)

A.(1) tương đương (2) B.(1) là hệ quả của pt (2)

C.(2) là hệ quả của pt (1) D. Cả 3 sai

Câu 6: Pt $x^2$=-4 có nghiệm là

A. Một nghiệm x=2 B. Có hai nghiệm x=-2;x=2

C.Mộe nghiệm x=-2 D. Vô nghiệm

Câu 7: Chọn kết quả đúng

A. $x^2=3x$ <=> x(x-3) =0 B.${\left(x-1\right)}^2-25$= 0 <=> x=6

C. $x^2$ =9 <=> x=3 D.$x^2$ =36<=> x=-6

Câu 8: Cho biết 2x-4=0. Tính 3x-4=

A. 0 B. 2 C. 17 D. 11

Câu 9: Pt (2x-3)(3x-2)=6x(x-50)+44 có tập nghiệm

A. S=$\left\{2\right\}$ B. S=$\left\{2;-3\right\}$ C. S=$\left\{2;\frac{1}{3}\right\}$ D. S=$\left\{2;0;3\right\}$

Câu 10: Pt 3x-5x+5=-8 có nghiệm là

A. x=-$\frac{2}{3}$ B. x=$\frac{2}{3}$ C. x=4 D. Kết quả khác

Câu 11: Giá trị của b để pt 3x+6=0 có nghiệm là x=-2

A.4 B. 5 C. 6 D. Kết quả khác

Câu 12: Pt 2x+k=x-1 nhận x=2 là nghiệm khi

A. k=3 B. k=-3 C. k=0 D.k=1

Câu 13: Pt m(x-1)=5-(m-1)x vô nghiệm nếu

A. m=$\frac{1}{4}$ B. m=$\frac{1}{2}$ C.m=$\frac{3}{4}$ D. m=1

Câu 14...

Số \(ab>0\), nên \(\dfrac{1}{ab}>0\). Từ \(a>b\), nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số \(\dfrac{1}{ab}\), có bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{b}\)

a, Áp dụng bđt Cauchy ta có

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)

b, a(a+2)<(a+1)²

=>a²+2a<a²+2a+1(đúng)

Bài 3:

a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\) \(\geq 2.\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}=\frac{8}{(x+y)^2}=8\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{2xy}+\left (\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\geq \frac{1}{2xy}+\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}\)

\(=\frac{1}{2xy}+\frac{4}{(x+y)^2}\)

Theo BĐT AM-GM:

\(xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{2xy}\geq 2\)

Do đó \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\geq 2+4=6\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Bài 1: Thiếu đề.

Bài 2: Sai đề, thử với \(x=\frac{1}{6}\)

Bài 4 a) Sai đề với \(x<0\)

b) Áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^4-x+\frac{1}{2}=\left (x^4+\frac{1}{4}\right)-x+\frac{1}{4}\geq x^2-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})^2\geq 0\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^4=\frac{1}{4}\\ x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (vô lý)

Do đó dấu bằng không xảy ra , nên \(x^4-x+\frac{1}{2}>0\)

Bài 6: Áp dụng BĐT AM-GM cho $6$ số:

\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\geq 6\sqrt[6]{a^3b^3c^3d^3}=6\)

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)