A B C E F H M K I

A. Ta có \(\frac{AH}{AC}=\frac{3}{5}\Rightarrow AC=\frac{5}{3}AH;BC=\frac{AB.AC}{AH}=\frac{AB.5AH}{3.AH}=\frac{5}{3}AB\)

Theo định lí Pitago ta có \(AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow15^2+\frac{25}{9}AH^2=\frac{25}{9}.15^2\Rightarrow AH^2=144\Rightarrow AH=12\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AC=\frac{5}{3}.12=20\Rightarrow BC=\sqrt{15^2+20^2}=25\left(cm\right)\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(BH=\frac{AB^2}{AC}=9;CH=\frac{AC^2}{BC}=16\left(cm\right)\)

b. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(BE=\frac{BH^2}{AB}=5,4\left(cm\right);CF=\frac{CH^2}{AC}=12,8\left(cm\right)\)

Ta có \(AH^3=12^3=1728\)

\(BC.BE.CF=25.5,4.12,8=1728\)

Vậy \(AH^3=BC.BE.CF\)

c. Ta kẻ \(CK⊥BC\)tại M \(\Rightarrow\)yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow\)chứng minh M là trung điểm BC 

Ta gọi I là giao điểm của AH và EF

Xét \(\Delta AKI\)và \(\Delta AHM\)

có \(\hept{\begin{cases}\widehat{K}=\widehat{H}=90^0\\\widehat{Achung}\end{cases}\Rightarrow\Delta AKI~\Delta AHM\left(g-g\right)}\)

\(\Rightarrow\widehat{AIF}=\widehat{AMB}\)

Ta chứng minh được \(AFHE\)là hình chữ nhật vì \(\widehat{F}=\widehat{A}=\widehat{E}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{IAF}=\widehat{IFA}\)\(\Rightarrow\widehat{FMA}=180^0-2\widehat{MAF}\left(1\right)\)

Lại có \(\widehat{HBA}=\widehat{IAF}\Rightarrow\widehat{AMH}=180^0-2\widehat{HBA}\)

\(\Rightarrow\Delta AMB\)cân tại  I \(\Rightarrow MA=MB\)

Tương tự chứng minh được \(MA=MC\)

Vậy M là trung điểm BC hay ta có đpcm 

a) Chứng minh \(\Delta ABH\)đồng dạng với \(\Delta CAH\)(G.G)

\(=>\frac{BH}{AB}=\frac{AH}{AC}\) \(=>\frac{BH}{15}=\frac{3}{5}\)

\(=>BH=9\)

Mà \(AB^2=BH.BC\)

=> \(BC=\frac{15^2}{9}=25\)

=> \(HC=25-9=16\)

Ta có \(AH^2=HB.HC\)

=> \(AH^4=HB^2.HC^2\)

Mà \(\begin{cases}HB^2=BE.AB\\HC^2=CF.AC\end{cases}\)

=> \(AH^4=BE.CF.AB.AC\)

Mà \(AB.AC=AH.BC\)

=> \(AH^4=BE.CF.BC.AH\)

=> đpcm

mk chưa hok lp 9

b/ Gọi G là giao điểm của AB và DF

Ta có :

  Góc ACQ = góc AHQ ( t/g ACHQ n.t )

  Góc ACQ = góc ADF ( 2 góc n.t chắn cung AF )

=> Góc AHQ = góc ADF

Mà 2 góc ở vị trí đồng vị 

Nên \(HQ//DF\)

Mặc khác \(HQ\perp AB\)tại Q

=> \(DF\perp AB\)tại G

Xét tứ giác GBNF ta có:\(B\widehat{G}F+B\widehat{N}F=180^0\)

=> Tứ giác GBNF nội tiếp =>\(N\widehat{G}F=N\widehat{B}F\)

Mà \(N\widehat{B}F=C\widehat{A}F\)( tứ giác ACBF n.t (O))

Nên \(N\widehat{G}F=C\widehat{A}F\left(1\right)\)

Xét tứ giác GMAF ta có: \(A\widehat{M}F=A\widehat{G}F\left(=90^0\right)\)

=> Tứ giác GMAF n.t =>\(M\widehat{A}F+M\widehat{G}F=180^0\left(2\right)\)

(1) và (2) => \(N\widehat{G}F+M\widehat{G}F=180^0\)

=> \(\overline{M,G,N}\)

Mà G là giao điểm của AB và DF

Nên MN,AB,DF đồng quy tại G

MN là đường thẳng simson nha bạn

khong biet

a nha