\(A=\frac{a}{ab+c\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{bc+a\left(a+b+c\right)}+\frac{c}{ca+b\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{a}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có

\(A=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(\ge27.\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8\left(a+b+c\right)^3}\)\(=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}{8}\)\(\ge\frac{9-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{8}=\frac{9-3}{8}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

a/ Một cách đơn giản hơn:

\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)

\(P=\frac{x-\frac{1}{2}+y-\frac{1}{2}}{y^2}+\frac{y-\frac{1}{2}+z-\frac{1}{2}}{z^2}+\frac{z-\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2}}{x^2}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(P=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(P\ge\frac{2}{xy}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{yz}\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{zx}\left(z-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(P\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-1\)

\(P\ge\sqrt{3\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)}-1=\sqrt{3}-1\)

\(P_{min}=\sqrt{3}-1\) khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

a) Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow ab+bc+ca=1;0< a,b,c< 1\)

Cần chứng minh: \(P=\sum\frac{\frac{1}{a}-1}{\frac{1}{b^2}}=\sum\frac{b^2-ab^2}{a}\ge\sqrt{3}-1\)

Hay là: \(\left(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}\right)\sqrt{ab+bc+ca}\ge\left(\sqrt{3}-1\right)\left(ab+bc+ca\right)+a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}\right)^2\left(ab+bc+ca\right)\ge\) \(\Big[ (\sqrt{3} -1) (ab+bc+ca) +a^2+b^2+c^2\Big]^2\)

Giả sử \(c=\min\{a,b,c\}\) và đặt \(a=c+u, \, b=c+v \, (u,\, v \geq 0)\)

Nếu mình không nhìn nhầm, sau khi rút gọn, nhóm lại theo biến c, bạn nhận được một cái gì đó gọi là hiển nhiên

Chúc may mắn, mình mới rút gọn thử thì thấy có vẻ hiển nhiên thật :))

b) Mạnh hơn, và dễ dàng hơn là:

\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{\sum c\left(a-b\right)^2}{abc}\)

Nó tương đương với: \({\frac {{a}^{2}}{{b}^{2}}}+{\frac {{b}^{2}}{{c}^{2}}}+{\frac {{c}^{2} }{{a}^{2}}}+3-2\,{\frac {a}{b}}-2\,{\frac {b}{c}}-2\,{\frac {c}{a}} \geqq 0\)

Là hiển nhiên vì \(\frac{a^2}{b^2}+1\ge\frac{2a}{b}\)

Đơn giản:))

không đâu ạ

Làm sao nghĩ ra đc hướng này ạ

câu d nhé

Nghĩ cách để xuất hiện a từ \(\frac{a}{b}\) với chiều \(\ge\) thôi bạn, rất tự nhiên là liên tưởng tới Buniacopxki

Hồng Phúc

Anh ơi em hỏi, \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\Rightarrow-\left(a^2+b^2+c^2\right)\le-\left(ab+bc+ca\right)\)

chứ ạ? Tại em cũng làm đến đây và bị mắc chỗ này, nó bị ngược dấu :<

Tiêu tùng, ko để ý :D

Chừa em câu a nha:D

Bad proof cho bất đẳng thức cuối:

Giả sử $c=\min\{a,b,c\}$

BĐT \(\Leftrightarrow\) \(4c^2(a-b)^2 M +N(a-c)(b-c) \geqq 0\)

Với $M= \frac{11}{4} \, \left( -2\,c+a+b \right) ^{2}+{\frac { \left( 17\,a+3\,b
\right) ^{2}}{68}}+{\frac {70\,{b}^{2}}{17}}$

$N=40\,{c}^{4}+ \left( 60\,a-120\,c+60\,b \right) {c}^{3}+ \left( 32\,
\left( a-c \right) ^{2}+84\, \left( a-c \right) \left( b-c \right) +
32\, \left( b-c \right) ^{2} \right) {c}^{2}+4\, \left( -2\,c+a+b
\right) \left( 1/7\, \left( 7\,a-6\,c-b \right) ^{2}+{\frac {48\,
\left( b-c \right) ^{2}}{7}} \right) c+ \left( a-c \right) \left( b-
c \right) \left( 5\, \left( a-c \right) ^{2}+18\, \left( a-c \right)
\left( b-c \right) +5\, \left( b-c \right) ^{2} \right)$

Đó là điều hiển nhiên.

Cách 3 cho câu b, khá độc đáo:

Đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(a^2;b^2;c^2\right)\) (nên đặt x².. nhưng mình đặt vậy để sẽ nói sau)

Đưa bất đẳng thức về: \(\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)^2\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

Áp dụng bổ đề với \(x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}\)

Có: \(VT\ge\left[\frac{3}{2}\sum\left(x+\frac{1}{x}\right)-6\right]^2\) (viết x, y, z lại như bổ đề trong link cho dễ xem :v)

\(=\left[\frac{3}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)-6\right]^2\ge VP\)

Hoán vị trở thành đối xứng, đơn giản chưa:v

d/ \(VT=\frac{a}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)

\(VT=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(VT\ge\frac{\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(\frac{2a+2b+2c}{3}\right)^3}\ge\frac{\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2}{\frac{8}{27}\left(a+b+c\right)^3}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

c/ \(2+2yz=x^2+y^2+z^2+2yz=x^2+\left(y+z\right)^2\ge2x\left(y+z\right)\)

\(\Rightarrow x\left(y+z\right)\le1+yz\)

Mặt khác cũng có: \(2+2yz=x^2+\left(y+z\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)^2\Rightarrow1+yz\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4}\)

\(P\le\frac{x^2}{x^2+x+x\left(y+z\right)}+\frac{y+z}{x+y+z+1}-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{36}\)

\(P\le\frac{x+y+z}{x+y+z+1}-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{36}\)

Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow P\le\frac{t}{t+1}-\frac{t^2}{36}=\frac{36t-t^3-t^2}{36\left(t+1\right)}\)

\(P\le\frac{-t^3-t^2+16t-20+20\left(t+1\right)}{36\left(t+1\right)}=\frac{-\left(t-2\right)^2\left(t+5\right)}{36\left(t+1\right)}+\frac{5}{9}\le\frac{5}{9}\)

\(\Rightarrow P_{max}=\frac{5}{9}\) khi \(t=2\) hay \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;0\right);\left(1;0;1\right)\)

b/ \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\) (1)

\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\ge\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\left(\frac{ab+bc+ca}{abc}\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

@Akai Haruma, @Nguyễn Việt Lâm, @tth_new

giúp em với ạ ! em cảm ơn nhiều!