Tìm các điểm cực trị của hàm số y=\dfrac{x^4}{4}-2x^2+6 y = 4 x 4 − 2 x 2 + 6
Giải:
Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R} x ∈ R
f'\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right) f ′ ( x ) = x 3 − 4 x = x ( x 2 − 4 ) f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x_1=0\\x_2=-2\\x_3=2\end{aligned}\right. f ′ ( x ) = 0 ⇔ ⎣ ⎡ x 1 = 0 x 2 = − 2 x 3 = 2
f''\left(x\right)=3x^2-4 f ′′ ( x ) = 3 x 2 − 4
Với x_1=0 x 1 = 0 f''\left(0\right) f ′′ ( 0 ) < > \Rightarrow x_0=0 ⇒ x 0 = 0 cực tiểu cực đại
Với x_2=-2 x 2 = − 2 f''\left(-2\right) f ′′ ( − 2 ) < > \Rightarrow x_2=-2 ⇒ x 2 = − 2 cực tiểu cực đại
Kiểm tra I. Khái niệm cực đại, cực tiểu
Định nghĩa : Hàm số y=f\left(x\right) y = f ( x ) \left(a;b\right) ( a ; b ) a là -\infty − ∞ b là +\infty + ∞ x_0\in\left(a;b\right) x 0 ∈ ( a ; b )
a) Nếu tồn tại số h>0 h > 0 f\left(x\right)< f\left(x_0\right) f ( x ) < f ( x 0 ) x\in\left(x_0-h;x_0+h\right) x ∈ ( x 0 − h ; x 0 + h ) x\ne x_0 x = x 0 f\left(x\right) f ( x ) cực đại tại x_0 x 0
b) Nếu tồn tại số h>0 h > 0 f\left(x\right)>f\left(x_0\right) f ( x ) > f ( x 0 ) x\in\left(x_0-h;x_0+h\right) x ∈ ( x 0 − h ; x 0 + h ) x\ne x_0 x = x 0 f\left(x\right) f ( x ) cực tiểu tại x_0 x 0
Chú ý :
1) Nếu hàm số f\left(x\right) f ( x ) x_0 x 0 x_0 x 0 điểm cực đại (điểm cực tiểu ) của hàm số; f\left(x_0\right) f ( x 0 ) giá trị cực đại (giá trị cực tiểu ) của hàm số, kí hiệu là f_{CĐ} f C Đ f_{CT} f CT M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right) M ( x 0 ; f ( x 0 ) ) điểm cực đại (điểm cực tiểu ) của đồ thị hàm số.
2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị . Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu ) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3) Nếu hàm số y=f\left(x\right) y = f ( x ) \left(a;b\right) ( a ; b ) x_0 x 0 f'\left(x_0\right)=0 f ′ ( x 0 ) = 0
II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lý 1 : Giả sử hàm số y=f\left(x\right) y = f ( x ) K=\left(x_0-h;x_0+h\right) K = ( x 0 − h ; x 0 + h ) K hoặc trên K\backslash\left\{x_0\right\} K \ { x 0 } h>0 h > 0 f'\left(x\right)>0 f ′ ( x ) > 0 \left(x_0-h;x_0\right) ( x 0 − h ; x 0 ) f'\left(x\right)< 0 f ′ ( x ) < 0 \left(x_0;x_0+h\right) ( x 0 ; x 0 + h ) x_0 x 0 f\left(x\right) f ( x )
b) Nếu f'\left(x\right)< 0 f ′ ( x ) < 0 \left(x_0-h;x_0\right) ( x 0 − h ; x 0 ) f'\left(x\right)>0 f ′ ( x ) > 0 \left(x_0;x_0+h\right) ( x 0 ; x 0 + h ) x_0 x 0 f\left(x\right) f ( x )
Tìm các điểm cực trị của hàm số y=-x^2+1 y = − x 2 + 1
Giải:
Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R} x ∈ R
f'\left(x\right)=-2x f ′ ( x ) = − 2 x f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0
Bảng biến thiên
Nhìn vào bảng biến thiên hãy cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?
Hàm số đạt cực tiểu bằng 1 tại
x=0 x = 0 .
Hàm số đạt cực đại bằng 0 tại
x=1 x = 1 .
Hàm số không có điểm cực trị.
Điểm
\left(0;1\right) ( 0 ; 1 ) là điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Kiểm tra
III. Qui tắc tìm cực trị Qui tắc 1 :
1. Tìm tập xác định.
2 Tính f'\left(x\right) f ′ ( x ) f'\left(x\right) f ′ ( x )
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Cho hàm số y=-x\left(x^2-3\right) y = − x ( x 2 − 3 )
A
Hàm số đạt cực đại tại
x_1=0 x 1 = 0 và đạt cực tiểu tại
x_2=\sqrt{3} x 2 = 3 .
B
Phương trình
y'=0 y ′ = 0 có 2 nghiệm là
x_1=0 x 1 = 0 và
x_2=\sqrt{3} x 2 = 3 .
D
Hàm số đạt cực tiểu tại
x_1=-1 x 1 = − 1 và đạt cực đại tại
x_2=1 x 2 = 1 .
Kiểm tra
Định lý 2 : Giả sử hàm số y=f\left(x\right) y = f ( x ) \left(x_0-h;x_0+h\right) ( x 0 − h ; x 0 + h ) h>0 h > 0
a) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)>0 f ′ ( x 0 ) = 0 , f ′′ ( x 0 ) > 0 x_0 x 0
b) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)< 0 f ′ ( x 0 ) = 0 , f ′′ ( x 0 ) < 0 x_0 x 0
Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.
Qui tắc 2 :
1. Tìm tập xác định.
2. Tính f'\left(x\right) f ′ ( x ) f'\left(x\right)=0 f ′ ( x ) = 0 x_i x i i=1,2,...,n i = 1 , 2 , ... , n
3. Tính f''\left(x\right) f ′′ ( x ) f''\left(x_i\right) f ′′ ( x i )
4. Dựa vào dấu của f''\left(x_i\right) f ′′ ( x i ) x_i x i
Tìm các điểm cực trị của hàm số y=\dfrac{x^4}{4}-2x^2+6 y = 4 x 4 − 2 x 2 + 6
Giải:
Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R} x ∈ R
f'\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right) f ′ ( x ) = x 3 − 4 x = x ( x 2 − 4 ) f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x_1=0\\x_2=-2\\x_3=2\end{aligned}\right. f ′ ( x ) = 0 ⇔ ⎣ ⎡ x 1 = 0 x 2 = − 2 x 3 = 2
f''\left(x\right)=3x^2-4 f ′′ ( x ) = 3 x 2 − 4
Với x_1=0 x 1 = 0 f''\left(0\right) f ′′ ( 0 ) < > \Rightarrow x_0=0 ⇒ x 0 = 0 cực tiểu cực đại
Với x_2=-2 x 2 = − 2 f''\left(-2\right) f ′′ ( − 2 ) < > \Rightarrow x_2=-2 ⇒ x 2 = − 2 cực tiểu cực đại
Kiểm tra
I. Khái niệm cực đại, cực tiểu
Định nghĩa : Hàm số y=f\left(x\right) y = f ( x ) \left(a;b\right) ( a ; b ) a là -\infty − ∞ b là +\infty + ∞ x_0\in\left(a;b\right) x 0 ∈ ( a ; b )
a) Nếu tồn tại số h>0 h > 0 f\left(x\right)< f\left(x_0\right) f ( x ) < f ( x 0 ) x\in\left(x_0-h;x_0+h\right) x ∈ ( x 0 − h ; x 0 + h ) x\ne x_0 x = x 0 f\left(x\right) f ( x ) cực đại tại x_0 x 0
b) Nếu tồn tại số h>0 h > 0 f\left(x\right)>f\left(x_0\right) f ( x ) > f ( x 0 ) x\in\left(x_0-h;x_0+h\right) x ∈ ( x 0 − h ; x 0 + h ) x\ne x_0 x = x 0 f\left(x\right) f ( x ) cực tiểu tại x_0 x 0
Chú ý :
1) Nếu hàm số f\left(x\right) f ( x ) x_0 x 0 x_0 x 0 điểm cực đại (điểm cực tiểu ) của hàm số; f\left(x_0\right) f ( x 0 ) giá trị cực đại (giá trị cực tiểu ) của hàm số, kí hiệu là f_{CĐ} f C Đ f_{CT} f CT M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right) M ( x 0 ; f ( x 0 ) ) điểm cực đại (điểm cực tiểu ) của đồ thị hàm số.
2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị . Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu ) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3) Nếu hàm số y=f\left(x\right) y = f ( x ) \left(a;b\right) ( a ; b ) x_0 x 0 f'\left(x_0\right)=0 f ′ ( x 0 ) = 0
II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lý 1 : Giả sử hàm số y=f\left(x\right) y = f ( x ) K=\left(x_0-h;x_0+h\right) K = ( x 0 − h ; x 0 + h ) K hoặc trên K\backslash\left\{x_0\right\} K \ { x 0 } h>0 h > 0 f'\left(x\right)>0 f ′ ( x ) > 0 \left(x_0-h;x_0\right) ( x 0 − h ; x 0 ) f'\left(x\right)< 0 f ′ ( x ) < 0 \left(x_0;x_0+h\right) ( x 0 ; x 0 + h ) x_0 x 0 f\left(x\right) f ( x )
b) Nếu f'\left(x\right)< 0 f ′ ( x ) < 0 \left(x_0-h;x_0\right) ( x 0 − h ; x 0 ) f'\left(x\right)>0 f ′ ( x ) > 0 \left(x_0;x_0+h\right) ( x 0 ; x 0 + h ) x_0 x 0 f\left(x\right) f ( x )
Tìm các điểm cực trị của hàm số y=-x^2+1 y = − x 2 + 1
Giải:
Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R} x ∈ R
f'\left(x\right)=-2x f ′ ( x ) = − 2 x f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0
Bảng biến thiên
Nhìn vào bảng biến thiên hãy cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?
Hàm số đạt cực tiểu bằng 1 tại
x=0 x = 0 .
Hàm số đạt cực đại bằng 0 tại
x=1 x = 1 .
Hàm số không có điểm cực trị.
Điểm
\left(0;1\right) ( 0 ; 1 ) là điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Kiểm tra
III. Qui tắc tìm cực trị Qui tắc 1 :
1. Tìm tập xác định.
2 Tính f'\left(x\right) f ′ ( x ) f'\left(x\right) f ′ ( x )
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Cho hàm số y=-x\left(x^2-3\right) y = − x ( x 2 − 3 )
A
Hàm số đạt cực đại tại
x_1=0 x 1 = 0 và đạt cực tiểu tại
x_2=\sqrt{3} x 2 = 3 .
B
Phương trình
y'=0 y ′ = 0 có 2 nghiệm là
x_1=0 x 1 = 0 và
x_2=\sqrt{3} x 2 = 3 .
D
Hàm số đạt cực tiểu tại
x_1=-1 x 1 = − 1 và đạt cực đại tại
x_2=1 x 2 = 1 .
Kiểm tra
Định lý 2 : Giả sử hàm số y=f\left(x\right) y = f ( x ) \left(x_0-h;x_0+h\right) ( x 0 − h ; x 0 + h ) h>0 h > 0
a) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)>0 f ′ ( x 0 ) = 0 , f ′′ ( x 0 ) > 0 x_0 x 0
b) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)< 0 f ′ ( x 0 ) = 0 , f ′′ ( x 0 ) < 0 x_0 x 0
Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.
Qui tắc 2 :
1. Tìm tập xác định.
2. Tính f'\left(x\right) f ′ ( x ) f'\left(x\right)=0 f ′ ( x ) = 0 x_i x i i=1,2,...,n i = 1 , 2 , ... , n
3. Tính f''\left(x\right) f ′′ ( x ) f''\left(x_i\right) f ′′ ( x i )
4. Dựa vào dấu của f''\left(x_i\right) f ′′ ( x i ) x_i x i
Tìm các điểm cực trị của hàm số y=\dfrac{x^4}{4}-2x^2+6 y = 4 x 4 − 2 x 2 + 6
Giải:
Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R} x ∈ R
f'\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right) f ′ ( x ) = x 3 − 4 x = x ( x 2 − 4 ) f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x_1=0\\x_2=-2\\x_3=2\end{aligned}\right. f ′ ( x ) = 0 ⇔ ⎣ ⎡ x 1 = 0 x 2 = − 2 x 3 = 2
f''\left(x\right)=3x^2-4 f ′′ ( x ) = 3 x 2 − 4
Với x_1=0 x 1 = 0 f''\left(0\right) f ′′ ( 0 ) < > \Rightarrow x_0=0 ⇒ x 0 = 0 cực tiểu cực đại
Với x_2=-2 x 2 = − 2 f''\left(-2\right) f ′′ ( − 2 ) < > \Rightarrow x_2=-2 ⇒ x 2 = − 2 cực tiểu cực đại
Kiểm tra
I. Khái niệm cực đại, cực tiểu
Định nghĩa : Hàm số y=f\left(x\right) y = f ( x ) \left(a;b\right) ( a ; b ) a là -\infty − ∞ b là +\infty + ∞ x_0\in\left(a;b\right) x 0 ∈ ( a ; b )
a) Nếu tồn tại số h>0 h > 0 f\left(x\right)< f\left(x_0\right) f ( x ) < f ( x 0 ) x\in\left(x_0-h;x_0+h\right) x ∈ ( x 0 − h ; x 0 + h ) x\ne x_0 x = x 0 f\left(x\right) f ( x ) cực đại tại x_0 x 0
b) Nếu tồn tại số h>0 h > 0 f\left(x\right)>f\left(x_0\right) f ( x ) > f ( x 0 ) x\in\left(x_0-h;x_0+h\right) x ∈ ( x 0 − h ; x 0 + h ) x\ne x_0 x = x 0 f\left(x\right) f ( x ) cực tiểu tại x_0 x 0
Chú ý :
1) Nếu hàm số f\left(x\right) f ( x ) x_0 x 0 x_0 x 0 điểm cực đại (điểm cực tiểu ) của hàm số; f\left(x_0\right) f ( x 0 ) giá trị cực đại (giá trị cực tiểu ) của hàm số, kí hiệu là f_{CĐ} f C Đ f_{CT} f CT M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right) M ( x 0 ; f ( x 0 ) ) điểm cực đại (điểm cực tiểu ) của đồ thị hàm số.
2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị . Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu ) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3) Nếu hàm số y=f\left(x\right) y = f ( x ) \left(a;b\right) ( a ; b ) x_0 x 0 f'\left(x_0\right)=0 f ′ ( x 0 ) = 0
II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lý 1 : Giả sử hàm số y=f\left(x\right) y = f ( x ) K=\left(x_0-h;x_0+h\right) K = ( x 0 − h ; x 0 + h ) K hoặc trên K\backslash\left\{x_0\right\} K \ { x 0 } h>0 h > 0 f'\left(x\right)>0 f ′ ( x ) > 0 \left(x_0-h;x_0\right) ( x 0 − h ; x 0 ) f'\left(x\right)< 0 f ′ ( x ) < 0 \left(x_0;x_0+h\right) ( x 0 ; x 0 + h ) x_0 x 0 f\left(x\right) f ( x )
b) Nếu f'\left(x\right)< 0 f ′ ( x ) < 0 \left(x_0-h;x_0\right) ( x 0 − h ; x 0 ) f'\left(x\right)>0 f ′ ( x ) > 0 \left(x_0;x_0+h\right) ( x 0 ; x 0 + h ) x_0 x 0 f\left(x\right) f ( x )
Tìm các điểm cực trị của hàm số y=-x^2+1 y = − x 2 + 1
Giải:
Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R} x ∈ R
f'\left(x\right)=-2x f ′ ( x ) = − 2 x f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0
Bảng biến thiên
Nhìn vào bảng biến thiên hãy cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?
Hàm số đạt cực tiểu bằng 1 tại
x=0 x = 0 .
Hàm số đạt cực đại bằng 0 tại
x=1 x = 1 .
Hàm số không có điểm cực trị.
Điểm
\left(0;1\right) ( 0 ; 1 ) là điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Kiểm tra
III. Qui tắc tìm cực trị Qui tắc 1 :
1. Tìm tập xác định.
2 Tính f'\left(x\right) f ′ ( x ) f'\left(x\right) f ′ ( x )
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Cho hàm số y=-x\left(x^2-3\right) y = − x ( x 2 − 3 )
A
Hàm số đạt cực đại tại
x_1=0 x 1 = 0 và đạt cực tiểu tại
x_2=\sqrt{3} x 2 = 3 .
B
Phương trình
y'=0 y ′ = 0 có 2 nghiệm là
x_1=0 x 1 = 0 và
x_2=\sqrt{3} x 2 = 3 .
D
Hàm số đạt cực tiểu tại
x_1=-1 x 1 = − 1 và đạt cực đại tại
x_2=1 x 2 = 1 .
Kiểm tra
Định lý 2 : Giả sử hàm số y=f\left(x\right) y = f ( x ) \left(x_0-h;x_0+h\right) ( x 0 − h ; x 0 + h ) h>0 h > 0
a) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)>0 f ′ ( x 0 ) = 0 , f ′′ ( x 0 ) > 0 x_0 x 0
b) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)< 0 f ′ ( x 0 ) = 0 , f ′′ ( x 0 ) < 0 x_0 x 0
Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.
Qui tắc 2 :
1. Tìm tập xác định.
2. Tính f'\left(x\right) f ′ ( x ) f'\left(x\right)=0 f ′ ( x ) = 0 x_i x i i=1,2,...,n i = 1 , 2 , ... , n
3. Tính f''\left(x\right) f ′′ ( x ) f''\left(x_i\right) f ′′ ( x i )
4. Dựa vào dấu của f''\left(x_i\right) f ′′ ( x i ) x_i x i
Tìm các điểm cực trị của hàm số y=\dfrac{x^4}{4}-2x^2+6 y = 4 x 4 − 2 x 2 + 6
Giải:
Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R} x ∈ R
f'\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right) f ′ ( x ) = x 3 − 4 x = x ( x 2 − 4 ) f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x_1=0\\x_2=-2\\x_3=2\end{aligned}\right. f ′ ( x ) = 0 ⇔ ⎣ ⎡ x 1 = 0 x 2 = − 2 x 3 = 2
f''\left(x\right)=3x^2-4 f ′′ ( x ) = 3 x 2 − 4
Với x_1=0 x 1 = 0 f''\left(0\right) f ′′ ( 0 ) < > \Rightarrow x_0=0 ⇒ x 0 = 0 cực tiểu cực đại
Với x_2=-2 x 2 = − 2 f''\left(-2\right) f ′′ ( − 2 ) < > \Rightarrow x_2=-2 ⇒ x 2 = − 2 cực tiểu cực đại
Kiểm tra
I. Khái niệm cực đại, cực tiểu
Định nghĩa : Hàm số y=f\left(x\right) y = f ( x ) \left(a;b\right) ( a ; b ) a là -\infty − ∞ b là +\infty + ∞ x_0\in\left(a;b\right) x 0 ∈ ( a ; b )
a) Nếu tồn tại số h>0 h > 0 f\left(x\right)< f\left(x_0\right) f ( x ) < f ( x 0 ) x\in\left(x_0-h;x_0+h\right) x ∈ ( x 0 − h ; x 0 + h ) x\ne x_0 x = x 0 f\left(x\right) f ( x ) cực đại tại x_0 x 0
b) Nếu tồn tại số h>0 h > 0 f\left(x\right)>f\left(x_0\right) f ( x ) > f ( x 0 ) x\in\left(x_0-h;x_0+h\right) x ∈ ( x 0 − h ; x 0 + h ) x\ne x_0 x = x 0 f\left(x\right) f ( x ) cực tiểu tại x_0 x 0
Chú ý :
1) Nếu hàm số f\left(x\right) f ( x ) x_0 x 0 x_0 x 0 điểm cực đại (điểm cực tiểu ) của hàm số; f\left(x_0\right) f ( x 0 ) giá trị cực đại (giá trị cực tiểu ) của hàm số, kí hiệu là f_{CĐ} f C Đ f_{CT} f CT M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right) M ( x 0 ; f ( x 0 ) ) điểm cực đại (điểm cực tiểu ) của đồ thị hàm số.
2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị . Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu ) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3) Nếu hàm số y=f\left(x\right) y = f ( x ) \left(a;b\right) ( a ; b ) x_0 x 0 f'\left(x_0\right)=0 f ′ ( x 0 ) = 0
II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lý 1 : Giả sử hàm số y=f\left(x\right) y = f ( x ) K=\left(x_0-h;x_0+h\right) K = ( x 0 − h ; x 0 + h ) K hoặc trên K\backslash\left\{x_0\right\} K \ { x 0 } h>0 h > 0 f'\left(x\right)>0 f ′ ( x ) > 0 \left(x_0-h;x_0\right) ( x 0 − h ; x 0 ) f'\left(x\right)< 0 f ′ ( x ) < 0 \left(x_0;x_0+h\right) ( x 0 ; x 0 + h ) x_0 x 0 f\left(x\right) f ( x )
b) Nếu f'\left(x\right)< 0 f ′ ( x ) < 0 \left(x_0-h;x_0\right) ( x 0 − h ; x 0 ) f'\left(x\right)>0 f ′ ( x ) > 0 \left(x_0;x_0+h\right) ( x 0 ; x 0 + h ) x_0 x 0 f\left(x\right) f ( x )
Tìm các điểm cực trị của hàm số y=-x^2+1 y = − x 2 + 1
Giải:
Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R} x ∈ R
f'\left(x\right)=-2x f ′ ( x ) = − 2 x f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0
Bảng biến thiên
Nhìn vào bảng biến thiên hãy cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?
Hàm số đạt cực tiểu bằng 1 tại
x=0 x = 0 .
Hàm số đạt cực đại bằng 0 tại
x=1 x = 1 .
Hàm số không có điểm cực trị.
Điểm
\left(0;1\right) ( 0 ; 1 ) là điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Kiểm tra
III. Qui tắc tìm cực trị Qui tắc 1 :
1. Tìm tập xác định.
2 Tính f'\left(x\right) f ′ ( x ) f'\left(x\right) f ′ ( x )
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Cho hàm số y=-x\left(x^2-3\right) y = − x ( x 2 − 3 )
A
Hàm số đạt cực đại tại
x_1=0 x 1 = 0 và đạt cực tiểu tại
x_2=\sqrt{3} x 2 = 3 .
B
Phương trình
y'=0 y ′ = 0 có 2 nghiệm là
x_1=0 x 1 = 0 và
x_2=\sqrt{3} x 2 = 3 .
D
Hàm số đạt cực tiểu tại
x_1=-1 x 1 = − 1 và đạt cực đại tại
x_2=1 x 2 = 1 .
Kiểm tra
Định lý 2 : Giả sử hàm số y=f\left(x\right) y = f ( x ) \left(x_0-h;x_0+h\right) ( x 0 − h ; x 0 + h ) h>0 h > 0
a) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)>0 f ′ ( x 0 ) = 0 , f ′′ ( x 0 ) > 0 x_0 x 0
b) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)< 0 f ′ ( x 0 ) = 0 , f ′′ ( x 0 ) < 0 x_0 x 0
Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.
Qui tắc 2 :
1. Tìm tập xác định.
2. Tính f'\left(x\right) f ′ ( x ) f'\left(x\right)=0 f ′ ( x ) = 0 x_i x i i=1,2,...,n i = 1 , 2 , ... , n
3. Tính f''\left(x\right) f ′′ ( x ) f''\left(x_i\right) f ′′ ( x i )
4. Dựa vào dấu của f''\left(x_i\right) f ′′ ( x i ) x_i x i
Tìm các điểm cực trị của hàm số y=\dfrac{x^4}{4}-2x^2+6 y = 4 x 4 − 2 x 2 + 6
Giải:
Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R} x ∈ R
f'\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right) f ′ ( x ) = x 3 − 4 x = x ( x 2 − 4 ) f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x_1=0\\x_2=-2\\x_3=2\end{aligned}\right. f ′ ( x ) = 0 ⇔ ⎣ ⎡ x 1 = 0 x 2 = − 2 x 3 = 2
f''\left(x\right)=3x^2-4 f ′′ ( x ) = 3 x 2 − 4
Với x_1=0 x 1 = 0 f''\left(0\right) f ′′ ( 0 ) < > \Rightarrow x_0=0 ⇒ x 0 = 0 cực tiểu cực đại
Với x_2=-2 x 2 = − 2 f''\left(-2\right) f ′′ ( − 2 ) < > \Rightarrow x_2=-2 ⇒ x 2 = − 2 cực tiểu cực đại
Kiểm tra
\(3x^4+x^2-4=0\)
\(\Leftrightarrow3x^4-3x^2+4x^2-4=0\)
\(\Leftrightarrow3x^2\cdot\left(x^2-1\right)+4\cdot\left(x^2-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(3x^2+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-1=0\\3x^2+4=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm1\\x^2=-\dfrac{4}{3}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(S=\left\{\pm1\right\}\)
Đặt `x^2=t(t>=0)`
Ta có PT: `3t^2+t-4=0`
`3+1-4=0`
`=> t_1 = 1 ; t_2 = -4/3 (L)`
`=> x^2=1`
`<=> x=\pm 1`
Vậy `S={\pm 1}`.
\(3x^4+x^2-4=0\\ \Leftrightarrow3x^4-3x^2+4x^2-4=0\\ \Leftrightarrow3x^2\left(x^2-1\right)+4\left(x^2-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(3x^2+4\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\\3x^2+4>0\forall x\end{matrix}\right.\)
Vậy \(S=\left\{-1;1\right\}\) là tập nghiệm của pt