Đầu tiên để dựng điểm M: cậu lấy P trên BC sao cho BP+AB=AC(cái này dễ đúng ko), rồi lấy M là trung điểm của CP. 
Dựng đường cao AH của tam giác, cậu có ngay AH=1/2 AC(tam giác ACH vuông tại H và C =90 độ) 
nếu tớ gọi 
độ dài cạnh BC là a thì 
ta có AB=1/2a 
AC = căn3/2a. 
AH =căn3/4 a 
BH = 1/2 AB = 1/4a (tam giác AHB vuông tại H có B = 60 độ) 
ta có: CM = 1/2CP = 1/2(CB - BP) = 1/2(CB - (AC - AB)) = a.(3 - căn3)/4 
ta lại có: MH = BC - CM - HB = a.căn3/4 
vậy ta xét tam giác AMH có tan góc AMH = AH/MH = 1 vậy có góc AMH = 45 độ 
xét tam giác ABM có góc BAM = 180 - ABM - AMB = 180 - 60 - 45 =75 độ 
 

a: Xét ΔABC có \(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(\Leftrightarrow cosA=\dfrac{13^2+15^2-12^2}{2\cdot13\cdot15}=\dfrac{25}{39}\)

=>\(\widehat{A}\simeq50^0\)

b: Xét ΔABC có \(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

=>\(\dfrac{5^2+8^2-BC^2}{2\cdot5\cdot8}=cos60=\dfrac{1}{2}\)

=>\(25+64-BC^2=40\)

=>\(BC^2=49\)

=>BC=7

AC² = AB² + BC² - 2.AB.BC.cos(60)

⇒ AC² = 27

⇒ AC = 3\(\sqrt{3}\)

\(\dfrac{AB}{sinC}=\dfrac{AC}{sinB}=\dfrac{BC}{sinA}\)

⇒ \(\dfrac{3}{sinC}=\dfrac{6}{sinA}=\dfrac{3\sqrt{3}}{sin60}\)

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}sinA=1\\sinC=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\widehat{A}=90^0;\widehat{C}=30^0\)

Đặt \(p=\frac{a+b+c}{2}\)

=>a+b+c=2p

=>a+b-c=2p-2c

=>a+b-c=2(p-c)

Ta có: a+b+c=2p

=>a-b+c=2p-2b

=>a-b+c=2(p-b)

Ta có: a+b+c=2p

=>b+c-a=2p-2a

=>b+c-a=2(p-a)

\(S=\frac14\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\)

=>\(S=\frac14\cdot2\left(p-c\right)\cdot2\cdot\left(p-b\right)=\left(p-c\right)\left(p-b\right)\) (1)

Vì S là diện tích tam giác ABC và p là nửa chu vi của tam giác ABC

nên \(S_{ABC}=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

=>\(\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-c\right)\left(p-b\right)}=\left(p-c\right)\left(p-b\right)\)

=>\(p\left(p-a\right)\left(p-c\right)\left(p-b\right)=\left(p-c\right)^2\left(p-b\right)^2\)

=>p(p-a)=(p-c)(p-b)

=>\(2p\cdot2\left(p-a\right)=2\left(p-c\right)\cdot2\cdot\left(p-b\right)\)

=>(a+b+c)(b+c-a)=(a+b-c)(a-b+c)

=>\(\left(b+c\right)^2-a^2=a^2-\left(b-c\right)^2\)

=>\(\left(b+c\right)^2+\left(b-c\right)^2=2a^2\)

=>\(2a^2=b^2+2bc+c^2+b^2-2bc+c^2=2b^2+2c^2\)

=>\(a^2=b^2+c^2\)

=>ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{BAC}=90^0\)

Xét ΔCAB có \(cosC=\frac{CA^2+CB^2-AB^2}{2\cdot CA\cdot CB}\)

=>\(8^2+12^2-AB^2=2\cdot8\cdot12\cdot cos106\)

=>\(AB^2=64+144-16\cdot12\cdot cos106=208-192\cdot cos106\)

=>AB≃16,15

Xét ΔCAB có \(\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}\)

=>\(\frac{8}{\sin B}=\frac{12}{\sin A}=\frac{16.15}{\sin106}\)

=>sin B≃0,48 và sin A≃0,71

=>\(\hat{B}\) ≃29 độ và \(\hat{A}\) ≃45 độ

Áp dụng định lý hàm cosin:

\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2-2AB.BC.cosB}=\sqrt{2^2+3^2-2.2.3.cos60^0}=\sqrt{2}\)

Diện tích tam giác:

\(S=\dfrac{1}{2}AB.BC.sinB=\dfrac{1}{2}.2.3.sin60^0=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)

\(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}=-\dfrac{1}{32}\)

\(\Rightarrow A\approx92^0\)

\(p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}=\dfrac{31}{2}\)

\(S_{ABC}=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}\simeq40\)

\(r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{80}{31}\)

\(a,AC=\sqrt{\left(4-7\right)^2+\left(6-\dfrac{3}{2}\right)^2}=\sqrt{9+\dfrac{81}{4}}=\dfrac{3\sqrt{13}}{2}\\ AB=\sqrt{\left(4-1\right)^2+\left(6-4\right)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\\ BC=\sqrt{\left(1-7\right)^2+\left(4-\dfrac{3}{2}\right)^2}=\sqrt{36+\dfrac{25}{4}}=\dfrac{13}{2}\)

\(c,BC^2=AB^2+AC^2\) nên \(\Delta ABC\) vuông tại A