Bài 1 :

Cho A = 13 + \(13^2+13^3+13^4+13^5+13^6.\) Chứng minh rằng A \(\)chia hết cho 2 .

Bài 2 :

Cho C = \(2+2^2+2^3+.....+2^{2011}+2^{2012}\). Chứng minh rằng C chia hết cho 3 .

Bài 3 :

Chứng minh rằng : A = \(2^1+2^2+2^3+.....+2^{59}+2^{60}\)chia hết cho 7

Bài 4 :

Cho A = \(7+7^3+7^5+....+7^{1999}\) . Chứng minh rằng A chia hết cho 35

Câu 1 : Thực hiện phép tính 1 cách hợp lý :

a) \(\dfrac{-12}{7}.\dfrac{4}{35}+\dfrac{12}{7}.\dfrac{\left(-31\right)}{35}-\dfrac{2}{7}\)

b) \(1+2-3-4+5+5-7-8+...+97+98-99-100\)

c) \(A=157.\left(-37\right)-\left(41.53-37.157\right)+51.53\)

d) \(B=\left(\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{21}+\dfrac{1}{31}+\dfrac{1}{41}+\dfrac{1}{51}\right)\left(\dfrac{-41}{123}+\dfrac{31}{-186}-\dfrac{-51}{102}\right)\)

Câu 2 :

a) 12 ( x - 5 ) = 7x - 5

b) Tìm x \(\in\) Z sao cho : ( 2x - 3 ) ²⁰¹⁰ = ( 2x - 3 ) ²⁰¹²

Câu 3 :

1) Cho biểu thức S = 1 + 3 + 3² + 3³ +...+ 3²⁰² + 3 ²⁰³

a) chứng tỏ rằng tổng S chia hết cho 52 .

b) Tìm Chữ số tận cùng trong tổng S .

2 ) Cho biểu thức A= \(\dfrac{2n+1}{2n+5}\) . Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì A là phân số tối giản .

Câu 4 : So sánh tổng gồm 1006 số hạng :

\(S=\dfrac{1}{1.1.3}+\dfrac{1}{2.3.5}+\dfrac{1}{3.5.7}+...+\dfrac{1}{1006.2011.2013}\) với \(\dfrac{2}{3}\)

1. Tìm \(n\in Z\)
a) \(2n+1⋮16-3n\)
b) \(n+3⋮n^2-7\)
c) \(n^2+2n+7⋮n+2\)
d) \(n^2-7⋮n+3\)
2. \(A=17n+11.....1\)( n chữ số ) . C/m: \(A⋮9\)
3. \(B=88.....8\)( n chữ số ) \(+n\) . C/m : \(B⋮9\)
4. Một số chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7. Hỏi số đó chia 2737 dư?
5. C/m: Nếu a là số lẻ và a \(⋮̸\)3. Thì \(a^2-1⋮6\)
6. Tìm x , y \(\in Z\) biết: \(\left(x-2\right)\left(xy-1\right)=5\)
7. Tìm số nguyên dương nhỏ hơn 10 biết: \(3x-4y=-21\)
8. So sánh:
a) \(2^{300}\) và \(3^{200}\)
b) \(71^{50}\) và \(37^{75}\)
c) \(107^{50}\) và \(73^{75}\)
d) \(17^{20}\) và \(31^{15}\)
e) \(2^{225}\) và \(3^{151}\)

Bài 1:

a, Cho S=\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}\) .Chứng minh rằng \(\frac{2}{5}< S< \frac{8}{9}\)

b, Tìm x thuộc z để phân số \(\frac{x^2-5x-1}{x+2}\)có giá trị là số nguyên

c, Chứng minh rằng \(\left(\frac{7}{65}+1\right)\left(\frac{7}{84}+1\right)\left(\frac{7}{105}+1\right)\left(\frac{7}{124}+1\right)...\left(\frac{7}{153+1}\right)\left(\frac{7}{560}+1\right)< 2\)

d, Chứng minh rằng \(\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+\frac{5}{3^5}-...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}< \frac{3}{16}\)

a) \(Cho\)\(S=\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+\frac{1}{33}+.....+\frac{1}{60}\)

\(Chứng\) \(minh\) \(\frac{3}{5}< S< \frac{4}{5}\)

b) \(Chứng\)\(minh\)\(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+\frac{1}{43}+.....+\frac{1}{100}>\frac{7}{10}\)

c) \(Chứng\)\(minh\)\(\frac{3}{10}+\frac{3}{11}+\frac{3}{12}+\frac{3}{13}+\frac{3}{14}\) không là số tự nhiên

d) \(Chứng\)\(minh\)\(\frac{1}{5}< D< \frac{1}{10}\) \(với\)\(D=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}.....\frac{99}{100}\)