1) \(ĐK:\orbr{\begin{cases}0\le x\le2-\sqrt{3}\\x\ge2+\sqrt{3}\end{cases}}\)

\(x+1+\sqrt{x^2-4x+1}=3\sqrt{x}\Leftrightarrow x-5+\sqrt{x^2-4x+1}=3\sqrt{x}-6\)\(\Leftrightarrow\frac{-6\left(x-4\right)}{x-5-\sqrt{x^2-4x+1}}=\frac{9\left(x-4\right)}{3\sqrt{x}+6}\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(\frac{9}{3\sqrt{x}+6}+\frac{6}{x-5-\sqrt{x^2-4x+1}}\right)=0\)

Xét phương trình \(\frac{9}{3\sqrt{x}+6}+\frac{6}{x-5-\sqrt{x^2-4x+1}}=0\Leftrightarrow\left(18\sqrt{x}-9\right)+9\left(x-\sqrt{x^2-4x+1}\right)=0\)\(\Leftrightarrow\frac{81\left(4x-1\right)}{18\sqrt{x}+9}+\frac{9\left(4x-1\right)}{x+\sqrt{x^2-4x+1}}=0\Leftrightarrow\left(4x-1\right)\left(\frac{81}{18\sqrt{x}+9}+\frac{9}{x+\sqrt{x^2-4x+1}}\right)=0\)

Dễ thấy \(\frac{81}{18\sqrt{x}+9}+\frac{9}{x+\sqrt{x^2-4x+1}}>0\)với mọi x thỏa mãn điều kiện nên 4x - 1 = 0 hay x = ¹/₄

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {4; ¹/₄}

e làm câu dễ nhất ^^

\(\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}+\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}=5\left(đk:-1\le x\le4\right)\)

\(< =>\left(\sqrt{x+1}-1\right)+\left(\sqrt{4-x}-2\right)+\left(\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}-2\right)=0\)

\(< =>\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}-\frac{x}{\sqrt{4-x}+2}+\frac{x\left(3-x\right)}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)+2}}=0\)

\(< =>x=0\)

chx xét ngoặc to kìa bạn

có nghiệm khác là x=3 nhưng lại không biết làm @@

4) \(ĐK:-1\le x\le4\)

Đặt \(\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}=t\left(t>0\right)\Rightarrow t^2=5+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}\Rightarrow\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}=\frac{t^2-5}{2}\)

Phương trình trở thành \(t+\frac{t^2-5}{2}=5\Leftrightarrow t^2+2t-15=0\Leftrightarrow\left(t+5\right)\left(t-3\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=-5\left(L\right)\\t=3\left(tm\right)\end{cases}}\)

Với t = 3 thì \(\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}=3\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+1}-1\right)+\left(\sqrt{4-x}-2\right)=0\)\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}+\frac{-x}{\sqrt{4-x}+2}=0\Leftrightarrow x\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}-\frac{1}{\sqrt{4-x}+2}\right)=0\)

Xét phương trình \(\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{\sqrt{4-x}+2}\Leftrightarrow\sqrt{x+1}=\sqrt{4-x}+1\)\(\Leftrightarrow x+1=5-x+2\sqrt{4-x}\Leftrightarrow2\sqrt{4-x}=2x-4\Leftrightarrow16-4x=4x^2-16x+16\Leftrightarrow4x^2-12x=0\Leftrightarrow4x\left(x-3\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=3\end{cases}}\)Vậy phương trình có tập nghiệm S = {0; 3}

2) \(ĐK:x\ge-\frac{1}{2}\)

\(4x^3+x-\left(x+1\right)\sqrt{2x+1}=0\Leftrightarrow-\left(x+1\right)\left(\sqrt{2x+1}-2x\right)-2x\left(x+1\right)+4x^3+x=0\)\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(2x-\sqrt{2x+1}\right)+x\left[4x^2-\left(2x+1\right)\right]=0\)\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(2x-\sqrt{2x+1}\right)+x\left(2x-\sqrt{2x+1}\right)\left(2x+\sqrt{2x+1}\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(2x-\sqrt{2x+1}\right)\left(x+1+2x^2+x\sqrt{2x+1}\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x-\sqrt{2x+1}=0\\x+1+2x^2+x\sqrt{2x+1}=0\end{cases}}\)

Dễ thấy\(x+1+2x^2+x\sqrt{2x+1}>0\forall x\ge\frac{-1}{2}\)  nên\(2x-\sqrt{2x+1}=0\Leftrightarrow2x=\sqrt{2x+1}\Leftrightarrow2x+1=4x^2\Leftrightarrow4x^2-2x-1=0\)

Dùng công thức nghiệm tìm được \(x=\frac{1+\sqrt{5}}{4}\) hoặc \(x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\)

Thay vào phương trình ta được \(x=\frac{1+\sqrt{5}}{4}\)thỏa mãn

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là \(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\)

3) \(ĐK:x\ge0\)

\(x-\sqrt{x}=1-\sqrt{2\left(x^2-x+1\right)}\Leftrightarrow\sqrt{x}-x+1=\sqrt{2\left(x^2-x+1\right)}\Leftrightarrow\left[\sqrt{x}-\left(x-1\right)\right]^2=2\left(x^2-x+1\right)\)\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}\left(x-1\right)+\left(x-1\right)^2=2\left(x^2-x+1\right)\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}.x-x^2+2\sqrt{x}-1=0\Leftrightarrow\left(x^2+2\sqrt{x}.x+x\right)-2\left(x+\sqrt{x}\right)+1=0\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x}\right)^2-2\left(x+\sqrt{x}\right)+1=0\)\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x}-1\right)^2=0\Leftrightarrow x+\sqrt{x}=1\)

Đặt \(\sqrt{x}=t\left(t>0\right)\)thì phương trình trở thành \(t^2+t-1=0\)

Dùng công thức nghiệm tìm được \(t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\left(tm\right)\)hoặc \(t=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\left(L\right)\)

\(t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=1\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\)

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là \(1\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\)

5) \(ĐK:x\ge1\)

Đặt \(\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=t\left(t>0\right)\)

\(\Rightarrow t^2=4x-3+2\sqrt{\left(3x-2\right)\left(x-1\right)}\Rightarrow t^2-6=4x-9+2\sqrt{3x^2-5x+2}=\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=t\Rightarrow t^2-t-6=0\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(t+2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=3\left(tm\right)\\t=-2\left(L\right)\end{cases}}\)t = 3 nên \(\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=3\Rightarrow4x-3+2\sqrt{3x^2-5x+2}=9\Leftrightarrow\sqrt{3x^2-5x+2}=6-2x\)(với điều kiện \(x\le3\)(\(\Leftrightarrow3x^2-5x+2=4x^2-24x+36\Leftrightarrow x^2-19x+34=0\)

Dùng công thức nghiệm tìm được x = 2 (tm) hoặc x = 17 (L)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}