Câu hỏi của Kinder

Question

1. Có bao nhiêu $m\in Z$ $\in\left[-30;40\right]$ để bpt sau đúng $\forall x\in R$

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

1.a.

$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x+5\right)\ge m$

$\Leftrightarrow\left(x^2+3x+2\right)\left(x^2+3x-10\right)\ge m$

Đặt $x^2+3x-10=t\ge-\dfrac{49}{4}$

$\Rightarrow\left(t+2\right)t\ge m\Leftrightarrow t^2+2t\ge m$

Xét $f\left(t\right)=t^2+2t$ với $t\ge-\dfrac{49}{4}$

$-\dfrac{b}{2a}=-1$ ; $f\left(-1\right)=-1$ ; $f\left(-\dfrac{49}{4}\right)=\dfrac{2009}{16}$

$\Rightarrow f\left(t\right)\ge-1$

$\Rightarrow$ BPT đúng với mọi x khi $m\le-1$

Có 30 giá trị nguyên của m

Câu trả lời:

1.a.

$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x+5\right)\ge m$

$\Leftrightarrow\left(x^2+3x+2\right)\left(x^2+3x-10\right)\ge m$

Đặt $x^2+3x-10=t\ge-\dfrac{49}{4}$

$\Rightarrow\left(t+2\right)t\ge m\Leftrightarrow t^2+2t\ge m$

Xét $f\left(t\right)=t^2+2t$ với $t\ge-\dfrac{49}{4}$

$-\dfrac{b}{2a}=-1$ ; $f\left(-1\right)=-1$ ; $f\left(-\dfrac{49}{4}\right)=\dfrac{2009}{16}$

$\Rightarrow f\left(t\right)\ge-1$

$\Rightarrow$ BPT đúng với mọi x khi $m\le-1$

Có 30 giá trị nguyên của m

Nguyễn Việt Lâm · Answer

1b.

Với $x=0$ BPT luôn đúng

Với $x\ne0$ BPT tương đương:

$\dfrac{\left(x^2-2x+4\right)\left(x^2+3x+4\right)}{x^2}\ge m$

$\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{4}{x}-2\right)\left(x+\dfrac{4}{x}+3\right)\ge m$

Đặt $x+\dfrac{4}{x}-2=t$ $\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t\ge2\t\le-6\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow t\left(t+5\right)\ge m\Leftrightarrow t^2+5t\ge m$

Xét hàm $f\left(t\right)=t^2+5t$ trên $D=(-\infty;-6]\cup[2;+\infty)$

$-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{5}{2}\notin D$ ; $f\left(-6\right)=6$ ; $f\left(2\right)=14$

$\Rightarrow f\left(t\right)\ge6$

$\Rightarrow m\le6$

Vậy có 37 giá trị nguyên của m thỏa mãn

Câu trả lời:

1b.

Với $x=0$ BPT luôn đúng

Với $x\ne0$ BPT tương đương:

$\dfrac{\left(x^2-2x+4\right)\left(x^2+3x+4\right)}{x^2}\ge m$

$\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{4}{x}-2\right)\left(x+\dfrac{4}{x}+3\right)\ge m$

Đặt $x+\dfrac{4}{x}-2=t$ $\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t\ge2\t\le-6\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow t\left(t+5\right)\ge m\Leftrightarrow t^2+5t\ge m$

Xét hàm $f\left(t\right)=t^2+5t$ trên $D=(-\infty;-6]\cup[2;+\infty)$

$-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{5}{2}\notin D$ ; $f\left(-6\right)=6$ ; $f\left(2\right)=14$

$\Rightarrow f\left(t\right)\ge6$

$\Rightarrow m\le6$

Vậy có 37 giá trị nguyên của m thỏa mãn

Nguyễn Việt Lâm · Answer

2.

Xét với $x\ge1$

$m\left(x+1\right)+3\left(x-1\right)-2\sqrt{x^2-1}=0$

$\Leftrightarrow m+3\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)-2\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}=0$

Đặt $\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}=t\Rightarrow0\le t< 1$

$\Rightarrow m+3t^2-2t=0$

$\Leftrightarrow3t^2-2t=-m$

Xét hàm $f\left(t\right)=3t^2-2t$ trên $D=[0;1)$

$-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{3}\in D$ ; $f\left(0\right)=0$ ; $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{1}{3}$ ; $f\left(1\right)=1$

$\Rightarrow-\dfrac{1}{3}\le f\left(t\right)< 1$

$\Rightarrow$ Pt có nghiệm khi $-\dfrac{1}{3}\le-m< 1$

$\Leftrightarrow-1< m\le\dfrac{1}{3}$

Câu trả lời:

2.

Xét với $x\ge1$

$m\left(x+1\right)+3\left(x-1\right)-2\sqrt{x^2-1}=0$

$\Leftrightarrow m+3\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)-2\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}=0$

Đặt $\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}=t\Rightarrow0\le t< 1$

$\Rightarrow m+3t^2-2t=0$

$\Leftrightarrow3t^2-2t=-m$

Xét hàm $f\left(t\right)=3t^2-2t$ trên $D=[0;1)$

$-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{3}\in D$ ; $f\left(0\right)=0$ ; $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{1}{3}$ ; $f\left(1\right)=1$

$\Rightarrow-\dfrac{1}{3}\le f\left(t\right)< 1$

$\Rightarrow$ Pt có nghiệm khi $-\dfrac{1}{3}\le-m< 1$

$\Leftrightarrow-1< m\le\dfrac{1}{3}$

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP