x + 7y ⋮ 31

=> 6x + 42y ⋮ 31

=> 6x + 31y + 11y ⋮ 31 

31y ⋮ 31

=> 6x + 11y ⋮ 31

Ta có: \(6x+11y⋮31\Rightarrow5.\left(6x+11y\right)⋮31\Rightarrow30x+55y⋮31\left(1\right)\)

Mà \(\left(30x+55y\right)+\left(x+7y\right)=30x+55y+x+7y\)

\(=31x+62y=31.\left(x+2y\right)⋮31\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow x+7y⋮31\) (do x, y \(\in\) Z)

Vậy nếu \(6x+11y⋮31\) thì \(x+7y⋮31\)

a) ta có:

\(\frac{n+1}{2n+3}\)là phân số tối giản thì:

\(\left(n+1;2n+3\right)=d\)

Điều Kiện;d thuộc N, d>0

=>\(\hept{\begin{cases}2n+3:d\\n+1:d\end{cases}}=>\hept{\begin{cases}2n+3:d\\2n+2:d\end{cases}}\)

=>2n+3-(2n+2):d

2n+3-2n-2:d

hay 1:d

=>d=1

Vỵ d=1 thì.....

Bài 2 :

Để A = (n+2) : (n-5) là số nguyên thì n+2 phải chia hết cho n-5

Mà n-5 chia hết cho n-5

=> (n+2) - (n-5) chia hết cho n-5

=> (n-n) + (2+5) chia hết cho n-5

=> 7 chia hết cho n-5

=> n-5 thuộc Ư(5) = { 1 : -1 ; 7 ; -7 }

Ta có bảng giá trị

Vậy với n thuộc { -2 ; 4 ; 6 ; 12 } thì A là số nguyên

 

2/ Ta có : 4x - 3 \(⋮\) x - 2

<=> 4x - 8 + 5  \(⋮\) x - 2

<=> 4(x - 2) + 5  \(⋮\) x - 2

<=> 5 \(⋮\)x - 2 

=> x - 2 thuộc Ư(5) = {-5;-1;1;5}

Ta có bảng : 

2)

S = \(\dfrac{3}{1.4}+\dfrac{3}{4.7}+...+\dfrac{3}{43.46}\)

S = 3 . (\(\dfrac{3}{1.4}+\dfrac{3}{4.7}+...+\dfrac{3}{43.46}\))

S = 1 . (\(\dfrac{1}{1.4}+\dfrac{1}{4.7}+...+\dfrac{1}{43.46}\))

S = 1 . (\(1-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{43}-\dfrac{1}{46}\))

S = 1 . (\(1-\dfrac{1}{46}\))

S = 1 . \(\dfrac{45}{46}\)

S = \(\dfrac{45}{46}\)

=> \(\dfrac{45}{46}\) < 1

1)

A = \(\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+..+\frac{2}{99.101}\)

A = \(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+..+\frac{1}{99}-\frac{1}{101}\)

A = \(\frac{1}{1}-\frac{1}{101}\)

A = \(\frac{100}{101}\)

Vậy A = \(\frac{100}{101}\)

B = \(\frac{5}{1.3}+\frac{5}{3.5}+...+\frac{5}{99.101}\)

B = \(\frac{5}{2}\left(\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+...+\frac{2}{99.101}\right)\)

B = \(\frac{5}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{101}\right)\)

B = \(\frac{5}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{101}\right)\)

B = \(\frac{5}{2}.\frac{100}{101}\)

B = \(\frac{250}{101}\)

Vậy B = \(\frac{250}{101}\)

2) 

Gọi ƯCLN ( 2n + 1 ; 3n + 2 ) = d ( d \(\in\)N* )

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(2n+1\right)⋮d\\2\left(3n+2\right)⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+3⋮d\\6n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow\left(6n+4\right)-\left(6n+3\right)⋮d\Rightarrow1⋮d}\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\frac{2n+1}{3n+2}\)là p/s tối giản

Gọi ƯCLN ( 2n+3 ; 4n+4 ) = d ( d \(\in\)N* )

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\\left(4n+4\right):2⋮d\end{cases}}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\2n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d}\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy ...

Cậu có chắc của lớp 6 không ???

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel , có :

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\) 

Đẳng thức xảy ra : \(\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\)

Xét \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(x+y+z\right)=3+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\)

Với \(x,y,z\inℕ^∗\)áp dụng bất đẳng thức Cô si  \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\),\(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\sqrt{\frac{y}{z}.\frac{z}{y}}=2\),\(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{z}.\frac{z}{x}}=2\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge3+2+2+2=9\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\left(x+y+z=6theogt\right)\)