Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(9=x+y+xy+1=(x+1)(y+1)\leq \left(\frac{x+y+2}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow 4\leq x+y\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^3+4x\geq 4x^2; y^3+4y\geq 4y^2\)
\(\frac{x}{4}+\frac{1}{x}\geq 1; \frac{y}{4}+\frac{1}{y}\geq 1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 5(x^2+y^2)+\frac{3}{4}(x+y)+2\)
Mà:
\(5(x^2+y^2)\geq 5.\frac{(x+y)^2}{2}\geq 5.\frac{4^2}{2}=40\)
\(\frac{3}{4}(x+y)\geq \frac{3}{4}.4=3\)
\(\Rightarrow A= x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 40+3+2=45\)
Vậy \(A_{\min}=45\Leftrightarrow x=y=2\)
Bài 2:
\(B=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{3c^2}{c-1}\)
\(B-24=\frac{a^2}{a-1}-4+\frac{2b^2}{b-1}-8+\frac{3c^2}{c-1}-12\)
\(=\frac{a^2-4a+4}{a-1}+\frac{2(b^2-4b+4)}{b-1}+\frac{3(c^2-4c+4)}{c-1}\)
\(=\frac{(a-2)^2}{a-1}+\frac{2(b-2)^2}{b-1}+\frac{3(c-2)^2}{c-1}\geq 0, \forall a,b,c>1\)
\(\Rightarrow B\geq 24\)
Vậy \(B_{\min}=24\Leftrightarrow a=b=c=2\)
Vì đã khuya nên não cũng không còn hoạt động tốt nữa, mình làm bài 1 thôi nhé.
Bài 1:
a)
\(2\text{VT}=\sum \frac{2bc}{a^2+2bc}=\sum (1-\frac{a^2}{a^2+2bc})=3-\sum \frac{a^2}{a^2+2bc}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\sum \frac{a^2}{a^2+2bc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1\)
Do đó: \(2\text{VT}\leq 3-1\Rightarrow \text{VT}\leq 1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
b)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}=\sum \frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}=\sum \frac{ab^2}{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+b^2}\leq \sum \frac{1}{16}\left(\frac{9ab^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{ab^2}{b^2}\right)\)
\(=\frac{1}{16}.\frac{9(ab^2+bc^2+ca^2)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{16}(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(3(ab^2+bc^2+ca^2)\leq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{16}.\frac{9(ab^2+bc^2+ca^2)}{a^2+b^2+c^2)}\leq \frac{3}{16}(a+b+c)(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{a+b+c}{4}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Lý giải xíu chỗ $3(ab^2+bc^2+ca^2)\leq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)$ cho bạn nào chưa rõ:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=(a^3+ac^2)+(b^3+a^2b)+(c^3+b^2c)+(ab^2+bc^2+ca^2)$
$\geq 2a^2c+2ab^2+2bc^2+(ab^2+bc^2+ca^2)=3(ab^2+bc^2+ca^2)$
Bài 2: Ta có: x, y, z không âm và \(x+y+z=\frac{3}{2}\)nên \(0\le x\le\frac{3}{2}\Rightarrow2-x>0\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM dạng \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\), ta được: \(x+2xy+4xyz=x+4xy\left(z+\frac{1}{2}\right)\le x+4x.\frac{\left(y+z+\frac{1}{2}\right)^2}{4}=x+x\left(2-x\right)^2\)
Ta cần chứng minh \(x+x\left(2-x\right)^2\le2\Leftrightarrow\left(2-x\right)\left(x-1\right)^2\ge0\)*đúng*
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x,y,z\right)=\left(1,\frac{1}{2},0\right)\)
Bài 3: Áp dụng đánh giá quen thuộc \(4ab\le\left(a+b\right)^2\), ta có: \(2\le\left(x+y\right)^3+4xy\le\left(x+y\right)^3+\left(x+y\right)^2\)
Đặt x + y = t thì ta được: \(t^3+t^2-2\ge0\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t^2+2t+2\right)\ge0\Rightarrow t\ge1\)(dễ thấy \(t^2+2t+2>0\forall t\))
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge\frac{1}{2}\)
\(P=3\left(x^4+y^4+x^2y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+1=3\left[\frac{3}{4}\left(x^2+y^2\right)^2+\frac{1}{4}\left(x^2-y^2\right)^2\right]-2\left(x^2+y^2\right)+1\ge\frac{9}{4}\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(x^2+y^2\right)+1\)\(=\frac{9}{4}\left[\left(x^2+y^2\right)^2+\frac{1}{4}\right]-2\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}\ge\frac{9}{4}.2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)^2.\frac{1}{4}}-2\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}=\frac{9}{4}\left(x^2+y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}=\frac{1}{4}\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}\ge\frac{1}{8}+\frac{7}{16}=\frac{9}{16}\)Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1/2
b2 \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}=\sqrt{x}.\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{y}.\)\(\sqrt{y}.\sqrt{1-\frac{1}{y}}+\sqrt{z}.\sqrt{1-\frac{1}{z}}\)rồi dung bunhia là xong
A= \(\frac{1}{a^3}\)+ \(\frac{1}{b^3}\)+ \(\frac{1}{c^3}\)+ \(\frac{ab^2}{c^3}\)+ \(\frac{bc^2}{a^3}\)+ \(\frac{ca^2}{b^3}\)
Svacxo:
3 cái đầu >= \(\frac{9}{a^3+b^3+c^3}\)
3 cái sau >= \(\frac{\left(\sqrt{a}b+\sqrt{c}b+\sqrt{a}c\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)
Cô-si: cái tử bỏ bình phương >= 3\(\sqrt{abc}\)
=> cái tử >= 9abc= 9 vì abc=1
Còn lại tự làm
5/ Tưỡng dễ ăn = sos + bđt phụ ai ngờ....hic...
\(BĐT\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}-\frac{a^2+b^2}{a+b}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b\right)-\left(a^2+b^2\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{ca\left(c-a\right)-bc\left(b-c\right)}{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{ca\left(c-a\right)}{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}-\frac{ca\left(c-a\right)}{\left(a+b+c\right)\left(b+c\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{ca\left(c-a\right)^2}{\left(a+b+c\right)}\ge0\left(\text{đúng}\right)\)
Ai ngờ nổi khi không dùng BĐT phụ lại dễ hơn cái kia chứ -_-
Ây za,nhầm dòng cuối cùng xíu ạ:
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{ca\left(c-a\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\ge0\left(\text{đúng}\right)\) -_- đánh thiếu một chút lại ra nông nỗi -_-
Bài 1:
Xét các hiệu sau:
\(M=x^3+y^3+z^3-(x^2+y^2+z^2)=x^2(x-1)+y^2(y-1)+z^2(z-1)\)
\(N=x^4+y^4+z^4-(x^3+y^3+z^3)=x^3(x-1)+y^3(y-1)+z^3(z-1)\)
Lấy $N-M$:
\( N-M=\sum x^2(x-1)(x-1)=\sum x^2(x-1)^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \sum x^4-2\sum x^3+\sum x^2\geq 0\)
\(\Rightarrow \sum x^4\geq 2\sum x^3-\sum x^2(*)\)
\(P=x^5+y^5+z^5-(x^4+y^4+z^4)=x^4(x-1)+y^4(y-1)+z^4(z-1)\)
Lấy $P-M$
\(P-M=\sum x^2(x-1)(x^2-1)=\sum x^2(x-1)^2(x+1)\geq 0, \forall x,y,z>-1\)
\(\Leftrightarrow \sum x^5-\sum x^4-\sum x^3+\sum x^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \sum x^5\geq \sum x^4+\sum x^3-\sum x^2\). Kết hợp với (*) và điều kiện ban đầu suy ra:
\(\sum x^5\geq 2\sum x^3-\sum x^2+\sum x^3-\sum x^2=3\sum x^3-2\sum x^2\geq \sum x^2\)
Bài 2:
Bạn có chắc đề đúng không
\(a,b,c\in\left\{0;1;2\right\}\) và \(a+b+c=3\Rightarrow (a,b,c)=(0,1,2)\) hoặc hoán vị, nghĩa là biết luôn giá trị của $a,b,c$ rồi thì thay $a^2+b^2+c^2=5$ luôn rồi.
Bài 4:
Xét hiệu:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}-\frac{2}{ab+1}=\frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}-\frac{2}{ab+1}\)
\(=\frac{(a^2+b^2+2)(ab+1)-2(a^2b^2+a^2+b^2+1)}{(ab+1)(a^2+1)(b^2+1)}\)
\(=\frac{ab(a^2+b^2+2)-2a^2b^2-(a^2+b^2)}{(ab+1)(a^2+1)(b^2+1)}\)
\(=\frac{ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)}{(ab+1)(a^2+1)(b^2+1)}=\frac{(a-b)^2(ab-1)}{(a^2+1)(b^2+1)(ab+1)}\)
\(\geq 0, \forall ab\geq 1\)
Do đó: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$ hoặc $ab=1$
Bài 2:
Vì $a,b,c\in [0;2]$ nên $(a-2)(b-2)(c-2)\leq 0$
\(\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ac)+4(a+b+c)-8\leq 0\)
\(\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4(a+b+c)-8+abc=4+abc\geq 4\) (do $a,b,c\geq 0$)
Từ đây ta suy ra:
\(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=9-2(ab+bc+ac)\leq 9-4=5\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(2,1,0)$ và hoán vị của chúng.
Ban đầu em cũng nghĩ vậy ạ. Còn câu 1 thì em bí ;((
gặp bài dạng này chắc em chết ;((
tth: thế giờ cố gắng làm nhiều dạng này để đi thi có gặp cũng đỡ " chết"
Akai Haruma em cũng mới 2k6, qua hè này lên lớp 8 thôi nên cũng còn thời gian để ôn
nhưng giờ mà đi thi gặp hình học mới "chết" lớn :(
Akai Haruma bài 4 hình như sai sai thì phải ạ.
ối bài 4 vậy mà đúng .... Hóa ra lúc đầu em nhìn sai đề -_-
tth: 2k6 mà được như vậy là khá ổn rồi. Vẫn còn nhiều thời gian để trau dồi kiến thức. Em mình 2k6 còn chưa bao giờ làm được bài BĐT nào như bạn đâu, hằng đẳng thức còn chưa nhớ.
Good luck :''>
Akai Haruma hahaha, đầu năm lớp 7 em cũng chẳng nhớ hằng đẳng thức đâu, lúc đó bên Online Math do không nhớ hằng đẳng thức nên làm sai thế là bị chửi... thế nên từ đó mới bắt đầu học kĩ lại :)
dạ đề e viết sai ạ
Sửa lại như vậy:
Bài 2: Cho a,b,c ∈ [0;2] ......
dạ e cảm ơn ạ
dạ e cảm ơn ạ