4: Sửa đề: DA=DC

a: BA=BC

DA=DC

=>BD là trung trực của AC

b: góc A+góc C=360-120-80=160 độ

Xét ΔBAD và ΔBCD có

BA=BD

AD=CD

BD chung

=>ΔBAD=ΔBCD

=>góc BAD=góc BCD=160/2=80 độ

3: Nếu bốn góc trong tứ giác đều là góc nhọn thì chắc chắn tổng 4 góc cộng lại sẽ nhỏ hơn 360 độ

=>Trái với  định lí tổng 4 góc trong một tứ giác

Nếu bốn góc trong tứ giác đều là góc tù thì chắc chắn tổng 4 góc cộng lại sẽ lớn hơn 360 độ

=>Trái với định lí tổng 4 góc trong một tứ giác

Do đó: 4 góc trong 1 tứ giác không thể đều là góc nhọn hay đều là góc tù được

Bài 1:

a) Sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác OAB, OBC,OCD và ODA.

b) Chứng minh tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi tứ giác sử dụng kết quả của a).

Chứng minh tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác ABC, ADC, ABD và CBD

Bài 3:

Gọi O là giao điểm AD và BC.

Ta có $\hat{C}+\stackrel{⌢}{D}={90}^0$ nên $\hat{O}={90}^0$

Áp dụng định lí Py – ta – go,

Ta có 

$A{C}^2=O{A}^2+O{C}^2.$

$B{D}^2=O{B}^2+O{D}^2$

Nên $A{C}^2+B{D}^2=\left(O{A}^2+O{B}^2\right)+\left(O{C}^2+O{D}^2\right)=A{B}^2+$

Bài 1: 

Gọi E là giao điểm của hai đường chéo AC và BD 

Xét tam giác AEB ta có: AE + BE > AB (trong một tam giác tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại)

Xét tam giác DEC ta có: DE + CE > DC (trong một tam giác tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại)

Cộng vế với vế ta có: AE + BE + DE + CE > AB + DC 

                                  (AE + CE) + (BE + DE) > AB + DC

                                     AC + BD > AB + DC 

Tương tự ta có AC + BD > AD + BC 

Kết luận: Trong một tứ giác tổng hai đường chéo luôn lớn hơn tổng hai cạnh đối.

Nửa chu vi của tứ giác ABCD là: \(\dfrac{AB+BC+CD+DA}{2}\)

Theo chứng minh trên ta có:

 \(\dfrac{AB+BC+CD+DA}{2}\)< \(\dfrac{\left(AB+CD\right)\times2}{2}\) = AB + CD (1)

Vì trong một tam giác tổng hai cạnh bao giờ cũng lớn hơn cạnh còn lại nên ta có:

AB + AD > BD 

AB + BC > AC

BC + CD > BD 

CD + AD > AC 

Cộng vế với vế ta có:

(AB + BC + CD + DA)\(\times\)2 > (BD + AC ) \(\times\) 2

⇒AB + BC + CD + DA > BD + AC  (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

Tổng hai đường chéo của tứ giác lớn hơn nửa chu vi của tứ giác nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác

Bài 2:

a: Số đo góc C là: \(180^0-60^0=120^0\)

Xét tứ giác ABCD có \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360^0\)

=>\(\hat{B}=360^0-70^0-80^0-120^0=90^0\)

b: Xét ΔABC có AB+BC>AC

Xét ΔADC có AD+DC>AC

Xét ΔBAD có BA+AD>BD

Xét ΔBCD có CB+CD>BD

Do đó: AB+BC+AD+DC+BA+AD+CB+CD>AC+AC+BD+BD

=>2(AB+BC+CD+DA)>2(AC+BD)

=>AB+BC+CD+DA>AC+BD

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Xét ΔOAB có OA+OB>AB

Xét ΔOCD có OC+OD>CD

Do đó: OA+OB+OC+OD>AB+CD

=>AC+BD>AB+CD

Xét ΔOAD có OA+OD>AD

Xét ΔOBC có OB+OC>BC

Do đó: OA+OD+OB+OC>AD+BC

=>AC+BD>AD+BC

Bài 3:

Gọi O là giao điểm của AD và BC

Xét ΔODC có \(\hat{ODC}+\hat{OCD}=90^0\)

nên ΔODC vuông tại O

=>AD⊥BC tại O

ΔOAC vuông tại O

=>\(OA^2+OC^2=AC^2\)

ΔOBD vuông tại O

=>\(OB^2+OD^2=BD^2\)

Do đó: \(AC^2+BD^2=OA^2+OC^2+OB^2+OD^2\) (1)

ΔOAB vuông tại O

=>\(OA^2+OB^2=AB^2\)

ΔOCD vuông tại O

=>\(OC^2+OD^2=CD^2\)

Do đó: \(OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=AB^2+CD^2\)

=>\(AB^2+CD^2=OA^2+OB^2+OC^2+OD^2\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(AC^2+BD^2=AB^2+CD^2\)

Bài 1: Gọi tứ giác cần tìm là tứ giác ABCD.

a: Gọi O là giao điểm của AC và BD

Xét ΔOAB có OA+OB>AB

Xét ΔOCD có OC+OD>CD

Do đó: OA+OB+OC+OD>AB+CD

=>AC+BD>AB+CD(2)

Xét ΔOAD có OA+OD>AD

Xét ΔOBC có OB+OC>BC

Do đó: OA+OD+OB+OC>AD+BC

=>AC+BD>AD+BC(1)

b: (1),(2) suy ra 2(AC+BD)>AB+CD+AD+BC

=>\(AC+BD>\frac12\left(AB+BC+CD+DA\right)=\frac12\cdot C_{ABCD}\) (3)

Xét ΔABC có AB+BC>AC

Xét ΔADC có AD+DC>AC

Xét ΔBAD có BA+AD>BD

Xét ΔBCD có CB+CD>BD

Do đó: AB+BC+AD+DC+BA+AD+CB+CD>AC+AC+BD+BD

=>2(AB+BC+CD+DA)>2(AC+BD)

=>AB+BC+CD+DA>AC+BD

=>\(C_{ABCD}>AC+BD\) (4)

Từ (3),(4) suy ra \(C_{ABCD}>AC+BD>\frac{C_{ABCD}}{2}\)

a) Vì AB//CD, ta có góc ACD = góc BCD = 180 - góc D = 180 - 60 = 120 độ.

Vì AB//CD, ta có góc ACD = góc BAD.

Vậy số đo góc A là 120 độ.

b) Gọi góc BCD là x độ.

Theo giả thiết, góc B phần góc D = 4/5, ta có:

góc B = (4/5) * góc D

= (4/5) * 60

= 48 độ.

Vì AB//CD, ta có góc BCD = góc BAD.

Vậy góc BAD = góc BCD = x độ.

Vì tứ giác ABCD là tứ giác lồi, tổng các góc trong tứ giác ABCD là 360 độ.

Ta có: góc A + góc B + góc C + góc D = 360 độ.

Vì góc D = 60 độ, góc A = 120 độ và góc B = 48 độ, ta có:

120 + 48 + góc C + 60 = 360

góc C = 360 - 120 - 48 - 60 = 132 độ.

Vậy số đo góc B là 48 độ và số đo góc C là 132 độ.

* Ib = bài 4