a: (I) tiếp xúc với Ox tại A, Oy tại B

=>IA⊥Ox tại A, IB⊥Oy tại B và IA=IB

Xét ΔOAI vuông tại A và ΔOBI vuông tại B có

OI chung

IA=IB

Do đó: ΔOAI=ΔOBI

=>OA=OB

=>ΔOAB cân tại O

=>\(\hat{OAB}=\hat{OBA}\) (1)

BC//OA

=>\(\hat{CBA}=\hat{BAO}\) (hai góc so le trong)(2)

Xét (O) có

\(\hat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB

\(\hat{OBA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến OB và dây cung AB

Do đó: \(\hat{ACB}=\hat{OBA}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\)

=>ΔABC cân tại A

=>AB=AC

a: Xét ΔMAB vuông tại A và ΔMDE vuông tại M có

MA=MD

\(\hat{AMB}=\hat{DME}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMAB=ΔMDE

=>AB=DE

BC=AB+CD

=>BC=DE+DC=CE

=>ΔCBE cân tại C

b: Kẻ MK⊥BC tại K

ΔCBE cân tại C

=>\(\hat{CBE}=\hat{CEB}\)

mà \(\hat{CEB}=\hat{ABE}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

nên \(\hat{CBE}=\hat{ABE}\)

=>BE là phân giác của góc ABC

Xét ΔBAM vuông tại A và ΔBKM vuông tại K có

BM chung

\(\hat{ABM}=\hat{KBM}\)

Do đó: ΔBAM=ΔBKM

=>MA=MK

=>MA=MK=MD

=>K nằm trên đường tròn đường kính AD

Xét (M) có

MK là bán kính

BC⊥MK tại K

Do đó: BC là tiếp tuyến của (M)

=>BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AD

a: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó; MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO⊥AB

Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔABK vuông tại B

=>BA⊥BK

mà MO⊥AB

nên MO//BK

b: Gọi E là giao điểm của AM và BK, I là giao điểm của BH và MK

TA có: BA⊥BK

=>BA⊥BE

=>ΔABE vuông tại B

Ta có: \(\hat{MBA}+\hat{MBE}=\hat{ABE}=90^0\)

\(\hat{MAB}+\hat{MEB}=90^0\) (ΔABE vuông tại B)

mà \(\hat{MAB}=\hat{MBA}\) (ΔMAB cân tại M)

nên \(\hat{MBE}=\hat{MEB}\)

=>MB=ME

mà MA=MB

nên MA=ME(3)

Ta có: BH⊥AK

AE⊥KA

Do đó: BH//AE

Xét ΔKAM có IH//AM

nên \(\frac{IH}{AM}=\frac{KI}{KM}\left(4\right)\)

Xét ΔKME có IB//ME

nên \(\frac{IB}{ME}=\frac{KI}{KM}\left(5\right)\)

Từ (3),(4),(5) suy ra IH=IB

=>I là trung điểm của BH

Xét trường hợp D nằm ngoài OC (trường hợp còn lại em tự xét).

a.

Do đường tròn đường kính OA cắt OC tại D nên ∠ADO là góc nt chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\angle ADO=90^0\Rightarrow\angle ADC=90^0\)

=>D thuộc đường tròn đường kính AC (1)

Do CH⊥AB tại H nên \(\angle AHC=90^0\Rightarrow\) H thuộc đường tròn đường kính AC (2)

(1),(2) =>4 điểm A,C,D,H đồng viên

b.

Do A,C,D,H đồng viên (cmt) nên ∠ACD=∠AHD (cùng chắn AD) (3)

Lại có OA=OC (cùng là bán kính của (O)) =>ΔOAC cân tại O

=>∠ACD=∠CAO (4)

(3),(4) =>∠AHD=∠CAO

=>HD song song AC (hai góc so le trong bằng nhau)

ĐKXĐ: x>0

Ta có: \(\frac{\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{x-1-x+\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\cdot\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\)

Ta có: \(A=\left(x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\left(\frac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\frac{x\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x}-2}{x\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}\)

Để A nguyên thì \(\sqrt{x}-2\) ⋮\(\sqrt{x}\)

=>-2⋮\(\sqrt{x}\)

=>\(\sqrt{x}\) ∈{1;2}

=>x∈{1;4}

\(a=\sqrt[3]{7+5\sqrt2}+\sqrt[3]{7-5\sqrt2}\)

\(=\sqrt[3]{2\sqrt2+6+\sqrt2+1}+\sqrt[3]{2\sqrt2-6+\sqrt2-1}\)

\(=\sqrt[3]{\left(\sqrt2\right)^3+3\cdot\left(\sqrt2\right)^2\cdot1+3\cdot\sqrt2\cdot1^2+1^3}+\sqrt[3]{\left(\sqrt2\right)^3-3\cdot\left(\sqrt2\right)^2\cdot1+3\cdot\sqrt2\cdot1^2-1^3}\)

\(=\sqrt[3]{\left(\sqrt2+1\right)^3}+\sqrt[3]{\left(\sqrt2-1\right)^3}=\sqrt2+1+\sqrt2-1=2\sqrt2\)

\(D=2a^4+6a^2-28a+2024\)

\(=2\cdot\left(2\sqrt2\right)^4+6\cdot\left(2\sqrt2\right)^2-28\cdot2\sqrt2+2024=2200-56\sqrt2\)