Mỗi lần thực hiện phép biến đổi, ta chọn hai ô kề nhau và cùng tăng hoặc cùng giảm một số lượng như nhau. Hai ô kề nhau luôn thuộc hai màu khác nhau (nếu tô bảng theo kiểu caro).
Do đó, mỗi lần biến đổi làm tổng số ngọc ở các ô màu đen và màu trắng tăng hoặc giảm như nhau, nên hiệu giữa tổng các ô đen và tổng các ô trắng luôn không đổi.
Xét bảng ban đầu (Hình a):
Tổng các ô đen: \(1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25\)
Tổng các ô trắng: \(2 + 4 + 6 + 8 = 20\)
⇒ Hiệu: \(25 - 20 = 5\)
Xét bảng mục tiêu (Hình b):
Tổng các ô đen: \(7 + 9 + 2 + 3 + 1 = 22\)
Tổng các ô trắng: \(8 + 6 + 4 + 5 = 23\)
⇒ Hiệu: \(22 - 23 = - 1\)
Vì hiệu ở hai bảng khác nhau nên không thể biến đổi từ bảng ban đầu thành bảng mục tiêu.
Kết luận: Hai anh em không thể vượt qua thử thách.
