a)
\(3 x - 4 x + 5 x - \frac{1}{3} x = 2\)

Gộp các hạng tử chứa \(x\):

\(\left(\right. 3 - 4 + 5 - \frac{1}{3} \left.\right) x = 2\) \(\left(\right. 4 - \frac{1}{3} \left.\right) x = 2\) \(\frac{11}{3} x = 2\) \(x = \frac{2 \times 3}{11} = \frac{6}{11}\)

✅ x = 6/11

b)
\(x + \frac{1}{9} + x + \frac{2}{8} + x + \frac{3}{7} = - 3\)

Gộp lại:

\(3 x + \left(\right. \frac{1}{9} + \frac{2}{8} + \frac{3}{7} \left.\right) = - 3\)

Rút gọn \(\frac{2}{8} = \frac{1}{4}\)

Quy đồng:

\(\frac{1}{9} + \frac{1}{4} + \frac{3}{7} = \frac{28 + 63 + 108}{252} = \frac{199}{252}\)

Thế vào:

\(3 x + \frac{199}{252} = - 3\) \(3 x = - 3 - \frac{199}{252} = - \frac{756}{252} - \frac{199}{252} = - \frac{955}{252}\) \(x = - \frac{955}{756}\)

✅ x = -955/756

c)

\(\frac{1}{1 \cdot 2 x} + \frac{1}{2 \cdot 3 x} + \frac{1}{3 \cdot 4 x} + . . . + \frac{1}{9 \cdot 10 x} = 9\)

Tách \(\frac{1}{x}\) ra ngoài:

\(\frac{1}{x} \left(\right. \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + . . . + \frac{1}{9 \cdot 10} \left.\right) = 9\)

Ta có công thức:

\(\frac{1}{k \left(\right. k + 1 \left.\right)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}\)

=> Tổng rút gọn:

\(1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}\)

Thế vào:

\(\frac{1}{x} \cdot \frac{9}{10} = 9\) \(\frac{9}{10 x} = 9\) \(10 x = 1\) \(x = \frac{1}{10}\)

✅ x = 1/10

Câu a:

3x - 4x + 5x - 1/3x = 2

-x + 5x - 1/3x = 2

4x - 1/3x = 2

12x/3 -x/3 = 2

11x/3 = 2

x = 2.3 : 11

x = 6/11

Vậy x = 6/11

Olm chào em. Đây là toán nâng cao chuyên đề phân số. Cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

Giải:

Số học sinh học lực khá là:

\(\frac52\times\frac29=\frac59\)(số học sinh giỏi)

32 học sinh ứng với phân số là:

1+ \(\frac29+\frac59\) = \(\frac{16}{9}\)(số học sinh giỏi)

Số học sinh giỏi là:

32 : \(\frac{16}{9}\) = 18(học sinh)

Số học sinh trung bình là:

18 x \(\frac29\) = 4(học sinh)

Số học sinh khá là:

18 x \(\frac59\) = 10(học sinh)

Đáp số:..

Đồ ng

(2x -3).(x -1/2)

= 2x^2 - x - 3x + 3/2

= 2x^2 - (x + 3x) + 3/2

= 2x^1 - 4x + 3/2

2x mũ 2 - 4x + 3/2.

(2x - 3).(x -1/2)

= 2x^2 - x - 3x + 3/2

= 2x^2 - (x+ 3x) + 3/2

= 2x^2 - 4x + 3/2

(4x + 1)(x + 3) = 0

4x + 1 = 0; x + 3 = 0

TH1: 4x + 1 = 0

4x = 1

x = 1/4

TH2: x + 3 = 0

x = -1

Vậy x ∈ {-1; 1/4}

(4x+1)(x+3)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}4x+1=0\\ x+3=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}4x=-1\\ x=-3\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\frac14\\ x=-3\end{array}\right.\)

Ta cần chứng minh:

\(\frac{1}{65} \textrm{ }\textrm{ } < \textrm{ }\textrm{ } \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{6^{3}} + \frac{1}{7^{3}} + \hdots + \frac{1}{2023^{3}} \textrm{ }\textrm{ } < \textrm{ }\textrm{ } \frac{1}{40} .\)

1️⃣ Chứng minh vế trái

\(\frac{1}{65} < \sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}}\)

Ta chỉ cần lấy một phần của tổng là đủ:

\(\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} > \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{6^{3}} = \frac{1}{125} + \frac{1}{216} .\)

Quy đồng:

\(\frac{1}{125} + \frac{1}{216} = \frac{216 + 125}{27000} = \frac{341}{27000} \approx 0.01263.\)

Trong khi đó:

\(\frac{1}{65} \approx 0.01538.\)

👉 À, nhìn thì chưa đủ, nên ta cộng thêm 1 số hạng nữa:

\(\frac{1}{7^{3}} = \frac{1}{343} \approx 0.0029.\)

Tổng:

\(0.01263 + 0.0029 = 0.01553 > 0.01538 = \frac{1}{65} .\)

✅ Suy ra:

\(\frac{1}{65} < \sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} .\)

2️⃣ Chứng minh vế phải

\(\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} < \frac{1}{40}\)

Ta dùng bất đẳng thức tích phân chuẩn:

Với \(x \geq 1\), hàm \(f \left(\right. x \left.\right) = \frac{1}{x^{3}}\) giảm, nên:

\(\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} < \int_{4}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} \textrm{ } d x .\)

Tính tích phân:

\(\int_{4}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} \textrm{ } d x = \left(\left[\right. - \frac{1}{2 x^{2}} \left]\right.\right)_{4}^{\infty} = \frac{1}{2 \cdot 4^{2}} = \frac{1}{32} .\)

Mà:

\(\frac{1}{32} < \frac{1}{40} .\)

👉 Do đó:

\(\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} < \frac{1}{40} .\)

🎯 Kết luận

\(\boxed{\frac{1}{65} < \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{6^{3}} + \hdots + \frac{1}{2023^{3}} < \frac{1}{40}}\)

\[ \text{Đặt } S=\sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k^3}. \] Với mọi \(k\ge 5\), ta có \[ k(k+1)(k+2)>k^3>k(k-1)(k+1), \] nên \[ \frac{1}{k(k+1)(k+2)}<\frac{1}{k^3}<\frac{1}{k(k-1)(k+1)}. \] Cộng theo \(k\) từ \(5\) đến \(2023\): \[ \sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}<S< \sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k(k-1)(k+1)}. \] \[ \sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k(k+1)(k+2)} =\frac12\sum_{k=5}^{2023}\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right) \] \[ =\frac12\left(\frac{1}{5\cdot6}-\frac{1}{2024\cdot2025}\right) =\frac1{60}-\frac{1}{2\cdot2024\cdot2025}. \] Vì \[ \frac{1}{2\cdot2024\cdot2025}<\frac1{780}, \] suy ra \[ \sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k(k+1)(k+2)} >\frac1{60}-\frac1{780} =\frac1{65}. \] Do đó \[ S>\frac1{65}. \] Mặt khác, \[ \sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k(k-1)(k+1)} =\frac12\sum_{k=5}^{2023}\left(\frac{1}{k(k-1)}-\frac{1}{k(k+1)}\right) \] \[ =\frac12\left[\left(\frac14-\frac1{2023}\right)-\left(\frac15-\frac1{2024}\right)\right] =\frac12\left(\frac1{20}-\frac1{2023\cdot2024}\right) <\frac1{40}. \] Suy ra \[ S<\frac1{40}. \] Vậy \[ \boxed{\frac1{65}<\frac1{5^3}+\frac1{6^3}+\frac1{7^3}+\cdots+\frac1{2023^3}<\frac1{40}.} \]

Giải:

Số sư lớn nhất có thể là: 39 - 1 = 38

Đáp số: 38

38

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 1/2 x 3/8 - 4/5

= (2 + 3+ 5) + (4+ 6 + 1) + (1/2 x 3/8 - 4/5)

= 10 + 11 + (3/16 - 4/5)

= (10 + 11) + (15/80 - 64/80)

= 21 - 49/80

= 1680/80 - 49/80

= 1631/80

1557 : 42 = 37 dư 3

1557 : 42 = 1557/42

4874 : 82 = 59 dư 36

4874 : 82 = 2437/41