Để \(x+\frac{1}{x}\) xác định thì x≠0

Do x hữu tỉ và \(x+\frac{1}{x}\in Z\) , đặt \(x=\frac{a}{b}\) với a;b là các số nguyên khác 0, \(\left(a,b\right)=1\) và đặt \(x+\frac{1}{x}=n\in Z\)

Khi đó: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=n\Rightarrow a\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=a.n\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b}+b=a.n\Rightarrow\frac{a^2}{b}=a.n-b\)

Do a,b,n nguyên nên \(a.n-b\in Z\Rightarrow\frac{a^2}{b}\in Z\)

Mà \(\left(a,b\right)=1\Rightarrow b=\pm1\)

Chứng minh tương tự ta có \(\frac{b^2}{a}\in Z\) và (a,b)=1 nên suy ra \(a=\pm1\)

=>\(x=\frac{a}{b}=\pm1\)

Vậy \(x=\pm1\) là số hữu tỉ thỏa mãn yêu cầu

Để tìm số hữu tỉ \(x\) sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

\(x + \frac{1}{x}\)

ta cần phân tích và giải bài toán này một cách chi tiết.

Bước 1: Giả sử \(x + \frac{1}{x} = n\), với \(n\) là một số nguyên.

Ta sẽ cố gắng tìm điều kiện để biểu thức này là một số nguyên.

• Từ \(x + \frac{1}{x} = n\), ta nhân cả hai vế với \(x\) để loại bỏ mẫu số:
  \(x^{2} + 1 = n \cdot x\)
  hay là:
  \(x^{2} - n \cdot x + 1 = 0\)

Bước 2: Giải phương trình bậc 2

Phương trình \(x^{2} - n \cdot x + 1 = 0\) là một phương trình bậc 2 đối với \(x\). Ta có thể giải phương trình này bằng công thức nghiệm phương trình bậc 2:

\(x = \frac{- \left(\right. - n \left.\right) \pm \sqrt{\left(\right. - n \left.\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}\)\(x = \frac{n \pm \sqrt{n^{2} - 4}}{2}\)

Bước 3: Điều kiện để \(x\) là số hữu tỉ

Để \(x\) là một số hữu tỉ, căn bậc hai \(\sqrt{n^{2} - 4}\) phải là một số nguyên, tức là:

\(n^{2} - 4 \&\text{nbsp};\text{ph}ả\text{i}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{ch} \overset{ˊ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{ph}ưo\text{ng} .\)

Gọi \(n^{2} - 4 = k^{2}\) với \(k\) là một số nguyên. Ta có:

\(n^{2} - k^{2} = 4\)\(\left(\right. n - k \left.\right) \left(\right. n + k \left.\right) = 4\)

Bước 4: Giải phương trình \(\left(\right. n - k \left.\right) \left(\right. n + k \left.\right) = 4\)

Giải phương trình \(\left(\right. n - k \left.\right) \left(\right. n + k \left.\right) = 4\), ta có các cặp nghiệm của \(\left(\right. n - k , n + k \left.\right)\) là các cặp số nhân với nhau ra 4:

• \(\left(\right. 1 , 4 \left.\right)\)
• \(\left(\right. - 1 , - 4 \left.\right)\)
• \(\left(\right. 2 , 2 \left.\right)\)
• \(\left(\right. - 2 , - 2 \left.\right)\)

Từ đây, ta tìm được các giá trị của \(n\) và \(k\).

Trường hợp 1: \(n - k = 1\) và \(n + k = 4\)

\(n - k = 1 \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} n + k = 4\)

Cộng hai phương trình:

\(2 n = 5 \Rightarrow n = \frac{5}{2}\)

Vậy \(n = \frac{5}{2}\) không phải là một số nguyên, do đó loại.

Trường hợp 2: \(n - k = - 1\) và \(n + k = - 4\)

\(n - k = - 1 \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} n + k = - 4\)

Cộng hai phương trình:

\(2 n = - 5 \Rightarrow n = \frac{- 5}{2}\)

Vậy \(n = \frac{- 5}{2}\) cũng không phải là một số nguyên, do đó loại.

Trường hợp 3: \(n - k = 2\) và \(n + k = 2\)

\(n - k = 2 \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} n + k = 2\)

Cộng hai phương trình:

\(2 n = 4 \Rightarrow n = 2\)

Vậy \(n = 2\).

Trường hợp 4: \(n - k = - 2\) và \(n + k = - 2\)

\(n - k = - 2 \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} n + k = - 2\)

Cộng hai phương trình:

\(2 n = - 4 \Rightarrow n = - 2\)

Vậy \(n = - 2\).

Bước 5: Tính giá trị của \(x\)

Với \(n = 2\) và \(n = - 2\), ta thay vào công thức giải phương trình bậc 2 \(x = \frac{n \pm \sqrt{n^{2} - 4}}{2}\).

Trường hợp \(n = 2\):

\(x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} - 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2} = \frac{2 \pm 0}{2} = 1\)

Trường hợp \(n = - 2\):

\(x = \frac{- 2 \pm \sqrt{\left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 4}}{2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2} = \frac{- 2 \pm 0}{2} = - 1\)

Kết luận:

Vậy, giá trị của \(x\) là 1 hoặc -1.

a: \(5^{9765625}=5^{5^{10}}=\left(5^5\right)^{10}=3125^{10}\)

\(4^{10000000}=4^{10^7}=\left(4^7\right)^{10}=16384^{10}\)

mà 3125<16384

nên \(5^{9765625}<4^{10000000}\)

b: \(3^{5000000}=\left(3^5\right)^{1000000}=243^{1000000}\)

\(2^{6000000}=\left(2^6\right)^{1000000}=64^{1000000}\)

mà 243>64

nên \(3^{5000000}>2^{6000000}\)

c: \(10^{1000000}=\left(10^5\right)^{200000}=100000^{200000}\)

\(8^{1200000}=\left(8^6\right)^{200000}=262144^{200000}\)

mà 100000<262144

nên \(10^{1000000}<8^{1200000}\)

Để so sánh các số trong các cặp này, ta sẽ tiến hành phân tích các giá trị một cách cụ thể.

a) So sánh \(5^{9765625}\) và \(4^{10000000}\)

Để so sánh hai số này, một cách tiếp cận là nhìn vào cơ số của chúng và mối quan hệ giữa chúng. Cả \(5^{9765625}\) và \(4^{10000000}\) đều là số rất lớn, nhưng cơ số của chúng có sự khác biệt:

• \(5^{9765625}\) có cơ số là 5.
• \(4^{10000000}\) có cơ số là 4.

Vì \(5 > 4\), và \(9765625 < 10000000\), ta có thể giả sử rằng \(5^{9765625}\) sẽ lớn hơn \(4^{10000000}\). Điều này đúng vì dù số mũ của \(4^{10000000}\) lớn hơn, cơ số của \(5^{9765625}\) lớn hơn nhiều, ảnh hưởng mạnh hơn đến giá trị cuối cùng.

Kết luận: \(5^{9765625} > 4^{10000000}\).

b) So sánh \(3^{5000000}\) và \(2^{6000000}\)

Tương tự như trong câu a, ta sẽ so sánh các cơ số và số mũ:

• \(3^{5000000}\) có cơ số là 3.
• \(2^{6000000}\) có cơ số là 2.

Mặc dù \(2^{6000000}\) có số mũ lớn hơn, cơ số 3 của \(3^{5000000}\) lớn hơn cơ số 2. Do đó, \(3^{5000000}\) sẽ lớn hơn \(2^{6000000}\) vì cơ số lớn hơn tác động mạnh hơn số mũ, mặc dù số mũ của \(2^{6000000}\) lớn hơn.

Kết luận: \(3^{5000000} > 2^{6000000}\).

c) So sánh \(1^{}\) và \(8^{}\)

• \(1^{} = 1\) (vì bất kỳ số nào mũ bao nhiêu cũng bằng 1 nếu cơ số là 1).
• \(8^{}\) là một số rất lớn vì \(8 > 1\) và số mũ rất lớn.

Vì vậy, rõ ràng \(1^{} = 1\) sẽ nhỏ hơn \(8^{}\), vì \(8^{}\) là một số cực kỳ lớn.

Kết luận: \(1^{} < 8^{}\).

Tóm tắt kết quả:

a) \(5^{9765625} > 4^{10000000}\)
b) \(3^{5000000} > 2^{6000000}\)
c) \(1^{} < 8^{}\)

\(\frac45-\frac13=\frac{12}{15}-\frac{5}{15}=\frac{7}{15}\)

\(\frac45-\frac13=\frac{12}{15}-\frac{5}{15}=\frac{12-5}{15}=\frac{7}{15}\)

\(\frac{3^2}{2}-\left(4,5-\frac{13}{2}\right)\)

\(=\frac92-\left(\frac92-\frac{13}{2}\right)\)

\(=\frac92-\frac92+\frac{13}{2}\)

\(=\frac{13}{2}\)

\(\frac{3}{2}^{2} = \frac{9}{4}\)

\(4 , 5 = \frac{9}{2}\)

suy ra

\(\frac{9}{4} - \left(\right. \frac{9}{2} - \frac{13}{2} \left.\right)\) \(= \frac{9}{4} - \frac{\left(\right. 9 - 13 \left.\right)}{2}\) \(= \frac{9}{4} - \frac{- 4}{2}\) \(= \frac{9}{4} + \frac{4}{2}\) \(= \frac{9}{4} + \frac{8}{4} = \frac{17}{4}\)

vậy

\(\frac{17}{4}\)

a: \(\left|3x-1\right|\ge0\forall x\)

=>\(\left|3x-1\right|+2025\ge2025\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi 3x-1=0

=>3x=1

=>\(x=\frac13\)

b: Sửa đề: \(\left|2x+1\right|+\left|2y-1\right|+2\)

Ta có: \(\left|2x+1\right|\ge0\forall x\)

\(\left|2y-1\right|\ge0\forall y\)

Do đó: \(\left|2x+1\right|+\left|2y-1\right|\ge0\forall x,y\)

=>\(\left|2x+1\right|+\left|2y-1\right|+2\ge2\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\begin{cases}2x+1=0\\ 2y-1=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-\frac12\\ y=\frac12\end{cases}\)

Câu a:

A = |3\(x\) - 1| + 2025

A = |3\(x\) - 1| ≥ 0 ∀ \(x\)

A = |3\(x\) - 1| + 2025 ≥ 2025; Dấu = xảy ra khi:

3\(x\) - 1 = 0 ⇒ 3\(x\) = 1 ⇒ \(x=\frac13\)

Vậy Amin = 2025 khi \(x\) = \(\frac13\)

Câu b:

B = |2\(x\) + 1| - |2y - 1| + 2

|2\(x\) + 1| ≥ 0 ∀ \(x\) ; |2y - 1| ≥ 0 ∀ y

⇒ |2\(x\) + 1| - |2y - 1| + 2 ≥ 2 Dấu bằng xảy ra khi:

\(\begin{cases}2x+1=0\\ 2y-1=0\end{cases}\)

⇒ \(\begin{cases}2x=-1\\ 2y=1\end{cases}\)

⇒ \(\begin{cases}x=-\frac12\\ y=\frac12\end{cases}\)

Vậy Bmin = 2 khi (\(x;y\)) = (- \(\frac12\); \(\frac12\))

Giải:

+ Một số chia hết cho 2 khi nó là tích của 2 với một số tự nhiên nào đó.

+ Bất cứ số tự nhiên nào nhân với 2 thì cũng được số có tận cùng là:

0; 2; 4; 6; 8

+ Số tự nhiên có tận cùng là: 0; 2; 4; 6; 8 thì số đó là các số chẵn

Từ những lập luận trên ta có: Mọi số tự nhiên chẵn đều chia hết cho 2.

thầy dạy hay quá

số gồm 5 triệu, 7 trăm, 5 chục được viết là: 5 000 750

Đọc là: Năm triệu bảy trăm năm mươi

năm triệu bảy trăm năm mươi tick ik

1020 x 90 = 91800

32 - 42 * 16 + 48 * 5

= 32 - 672 + 240

= -640 + 240

= -400

32 - 42.16 + 48.5

= 32 - 672 + 240

= ( -640 ) + 240

= -400

32 - 42 * (-19) + 38 * 5

= 32 - (-798) + 190

= 32 + 798 + 190

= 830 + 190

= 1020

32 - 42 x (-19) + 38 x 5

= 32 - ( - 798 ) + 190

= 830 + 190

= 1020