Câu 3 (1,5 điểm): Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A, vẽ tiếp tuyến AB tới đường tròn ( B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường tròn (O; R), AC cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai là D (D khác C). Gọi I là trung điểm của CD.
a) Chứng minh tứ giác ABOI nội tiếp và A * B ^ 2 =AC.AD
b) Gọi H là hình chiếu của B trên AO. Chứng minh . AO + C * I ^ 2 = A * I ^...
Đọc tiếp
Câu 3 (1,5 điểm): Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A, vẽ tiếp tuyến AB tới đường tròn ( B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường tròn (O; R), AC cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai là D (D khác C). Gọi I là trung điểm của CD. a) Chứng minh tứ giác ABOI nội tiếp và A * B ^ 2 =AC.AD b) Gọi H là hình chiếu của B trên AO. Chứng minh . AO + C * I ^ 2 = A * I ^ 2
a: ΔOCD cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI⊥CD tại I
Xét tứ giác ABOI có \(\hat{ABO}+\hat{AIO}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOI là tứ giác nội tiếp
Xét (O) có
ΔBDC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBDC vuông tại D
=>BD⊥AC tại D
Xét ΔABC vuông tại B có BD là đường cao
nên \(AD\cdot AC=AB^2\)
b:
Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\)
\(AI^2-CI^2=\left(AI-CI\right)\left(AI+CI\right)\)
\(=\left(AI-ID\right)\left(AI+CI\right)=AD\cdot AC=AB^2\)
\(=AH\cdot AO\)
=>\(AH\cdot AO+CI^2=AI^2\)
Câu 3:
a) Vì AB là tiếp tuyến tại B nên AB ⟂ OB ⇒ ∠ABO = 90°. Tam giác COD có OC = OD, I là trung điểm CD nên OI ⟂ CD ⇒ ∠AIO = 90°. Suy ra ∠ABO = ∠AIO nên tứ giác ABOI nội tiếp. Theo định lý tiếp tuyến – cát tuyến: AB² = AC · AD.
b) Gọi H là hình chiếu của B trên AO ⇒ BH ⟂ AO nên AB² = AH · AO. Mà AB² = AC · AD ⇒ AH · AO = AC · AD. Vì I là trung điểm CD nên AC · AD = AI² − CI². Do đó AI² = AH · AO + CI².