a) Vì AB=AC ; AH lại là đường thẳng vuông góc vs BC=>góc AHB =AHC

b) vì AB=AC ; HD vuông góc với AB,HỆ vuông góc với AC(vì điều kiện giống nhau)

=>BD=CE

còn câu C hình như có gì đó sai sai nha bạn 

a, Xét tam giác AHB và tam giác AHC có 

AH _ chung 

AB = AC 

Vậy tam giác AHB~ tam giác AHC (ch-cgv) 

Ta có tam giác ABC cân tại A, có AH là đường cao 

đồng thười là đường pg 

b, Xét tam giác AMH và tam giác NAH có 

HA _ chung 

^MAH = ^NAH 

Vậy tam giác AMH = tam giác NAH (ch-gn) 

=> AM = AN ( 2 cạnh tương ứng ) 

c, Ta có AM/AB = AN/AC => MN // BC 

d, Ta có \(AH^2+BM^2=AN^2+BH^2\)

Xét tam giác BMH vuông tại M \(MB^2=BH^2-MH^2\)

Thay vào ta được \(AH^2+BH^2-MH^2=AN^2+BH^2\Leftrightarrow AH^2-MH^2=AN^2\)

Lại có AM = AN (cmt) 

\(AM^2=AH^2-MH^2\)( luôn đúng trong tam giác AMH vuông tại M) 

Vậy ta có đpcm 

a vẽ hình cho e đc k ạ

a) Xét 2 tam giác vuông \(AHB\) và \(CAB\) có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{BAC}=90^0\left(gt\right)\)

\(\widehat{B}\) chung

=> \(\Delta AHB\sim\Delta CAB\left(g-g\right)\) (1).

+ Xét 2 tam giác vuông \(CHA\) và \(CAB\) có:

\(\widehat{AHC}=\widehat{BAC}=90^0\left(gt\right)\)

\(\widehat{C}\) chung

=> \(\Delta CHA\sim\Delta CAB\left(g-g\right)\) (2).

Từ (1) và (2) => \(\Delta AHB\sim\Delta CHA\left(đpcm\right).\)

b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\left(gt\right)\) có:

\(BC^2=AB^2+AC^2\) (định lí Py - ta - go).

=> \(BC^2=3^2+4^2\)

=> \(BC^2=9+16\)

=> \(BC^2=25\)

=> \(BC=5\left(cm\right)\) (vì \(BC>0\)).

+ Xét \(\Delta ABC\) có:

\(AD\) là đường phân giác của \(\widehat{BAC}\left(gt\right)\)

=> \(\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}\) (tính chất đường phân giác của tam giác).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}=\frac{BD+CD}{AB+AC}=\frac{BC}{AB+AC}=\frac{5}{3+4}=\frac{5}{7}.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{BD}{AB}=\frac{5}{7}\Rightarrow\frac{BD}{3}=\frac{5}{7}\Rightarrow BD=\frac{5}{7}.3=\frac{15}{7}\left(cm\right)\\\frac{CD}{AC}=\frac{5}{7}\Rightarrow\frac{CD}{4}=\frac{5}{7}\Rightarrow CD=\frac{5}{7}.4=\frac{20}{7}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(BD=\frac{15}{7}\left(cm\right);CD=\frac{20}{7}\left(cm\right).\)

Chúc bạn học tốt!

Giải : 

a² + b² + c² = ab + ac + bc

\(\Rightarrow\)2a² + 2b² + 2c² = 2ab + 2ac + 2bc

\(\Rightarrow\)2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2ac - 2bc = 0

\(\Rightarrow\)( a² - 2ab + b² ) + ( a² - 2ac + c² ) + ( b² - 2bc + c² ) = 0

\(\Rightarrow\)( a - b )² + ( a - c )² + ( b - c )² = 0

Vì ( a - b )² \(\ge\)0 với mọi a , b ; ( a - c )² \(\ge\)với mọi a , c ; ( b - c )² \(\ge\)0 với mọi b , c

Do đó ( a - b )² + ( a - c )² + ( b - c )² = 0 khi a - b = a - c = b - c = 0

\(\Rightarrow\)a = b = c 

ta có \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

tương tự ta có 

\(b^2+c^2\ge2bc;c^2+a^2\ge2ac\)

cộng từng vế của 3 bđt cùng chiều ta có 

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

dấu = xảy ra <=> a=b=c(ĐPCM)

-Ta có: AE+EB>AB=a (bất đẳng thức trong tam giác AEB)

DE+EC>DC=c (bất đẳng thức trong tam giác DEC)

AE+DE>AD=d (bất đẳng thức trong tam giác AED)

BE+EC>BC=b (bất đẳng thức trong tam giác BEC)

=> AE+EB+DE+EC+AE+DE+BE+EC>a+b+c+d.

=> AC+BD+AC+BD>a+b+c+d.

=> 2(AC+BD)>a+b+c+d

=> AC+BD >\(\dfrac{a+b+c+d}{2}\)(1)

Ta có: AC<AB+BC=a+b (bất đẳng thức trong tam giác ABC)

AC<AD+DC=c+d (bất đẳng thức trong tam giác ADC)

BD< AB+AD=a+d (bất đẳng thức trong tam giác ABD)

BD< BC+DC=b+c (bất đẳng thức trong tam giác BCD)

=>2(AC+BD)<2(a+b+c+d)

=>AC+BD<a+b+c+d. (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\dfrac{a+b+c+d}{2}< AC+BD< a+b+c+d\)

a: Xét tứ giác ABNC có

M là trung điểm của AN và BC

=>ABNC là hình bình hành

=>AB=CN

b: AB+AC=CN+AC>NC=2AM

a, Xét ΔABC có

M là trđ BC (gt)
N là trđ AC (gt)
=> MN là đường tb ΔABC

=> MN // AB
Mà AB ⊥ AC (ΔABC vuông tại A)
=> MN ⊥ AC tại N

b, Xét ΔAMC có

MN ⊥ AC tại N
N là trđ AC

=> ΔAMC cân tại M
c, Do ΔAMC cân tại M nên AM = MC (t/c tam giác cân)

Mà M là trđ BC

=> AM = MC = BC/2

Hay 2AM = BC