a)a²+b²+c²+3=2(a+b+c)

=>a²+b²+c²+1+1+1-2a-2b-2c=0

=>(a²-2a+1)+(b²-2b+1)+(c²-2c+1)=0

=>(a-1)²+(b-1)²+(c-1)²=0

=>a-1=b-1=c-1=0 <=>a=b=c=1 

-->Đpcm

b)(a+b+c)²=3(ab+ac+bc)

=>a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc -3ab-3ac-3bc=0 

=>a²+b²+c²-ab-ac-bc=0

=>2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0 

=>(a²- 2ab+b²)+(b²-2bc+c²) + (c²-2ca+a²) = 0

=>(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0 

Hay (a-b)²=0 hoặc (b-c)²=0 hoặc (a-c)²=0

=>a-b hoặc b=c hoặc a=c

=>a=b=c 

-->Đpcm

c)a²+b²+c²=ab+bc+ca

=>2(a²+b²+c²)=2(ab+bc+ca)

=>2a²+2b²+c²=2ab+2bc+2ca

=>2a²+2b²+c²-2ab-2bc-2ca=0

=>a²+a²+b²+b²+c²+c²-2ab-2bc-2ca=0

=>(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(a²-2ca+c²)=0

=>(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0

Hay (a-b)²=0 hoặc (b-c)²=0 hoặc (a-c)²=0

=>a-b hoặc b=c hoặc a=c

=>a=b=c 

-->Đpcm

xí câu 1:))

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)

Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )

Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2

1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)

\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)

2.

Vỉ \(ab+bc+ca+abc=4\)thi luon ton tai \(a=\frac{2x}{y+z};b=\frac{2y}{z+x};c=\frac{2z}{x+y}\)

\(\Rightarrow VT=2\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{ab}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\le2\Sigma_{cyc}\frac{\frac{b}{b+c}+\frac{a}{c+a}}{2}=3\)

Vế phải là gì kia ạ?

ab/b+c + bc/ c+a + ca/ b+c = ca/ b+c + ab/ c+a + bc/a+b

bài 2

a,

ta có AH vuông góc với CB

=> góc AHC = góc AHB = 90 độ

tam giác ABC cân tại A

=> AB = AC và góc ABH = góc ACH

xét 2 tam giác AHB và AHC

có góc AHC = góc AHB = 90 độ (cmt)

AB = AC (cmt)

góc ABH = góc ACH (cmt )

=> tam giác AHB = tam giác AHC ( cạnh huyền góc nhọn )(đpcm)

b,

từ a có tam giác AHB = tam giác AHC (canh huyền góc nhọn )

=> BH = CH ( 2 cạnh tương ứng )

và góc HAB = góc HAC ( 2 góc tương ứng ) (1)

xét hai tam giác BHM và CHN

có BMH = 90độ ( HM vuông góc với AB )

BH = CH ( cmt)

góc ABH = góc ACH (hai góc cạnh đáy của tam giác ABC cân tại A )

=> tam giác BHM = tam giác CHN ( cạnh huyền góc nhọn )

=> CN = BM ( 2 cạnh tương ứng )

mà AB = AC (hai cạnh khác đáy của tam giác cân ABC )

=> AB - BM = AC - CN

=> AM = AN

=> tam giác AMN cân

c, xét 2 tam giác AMO và ANO

có góc HAC = góc HAB (từ 1)

AM = AN (cmt)

AO là cạnh chung

=> tam giác AMO = tam giác ANO (c.g.c)

=> góc AON = góc AOM (2 góc tương ứng )

mà góc AON + góc AOM = 180 độ (2 góc kề bù )

=> góc AON = góc AOM = 90 độ

=> MN vuông góc với AO ( hay AH )

mà BC cũng vuông góc với AH ( gt)

=> MN // BC ( đpcm )

bài 1

a, xét 2 tam giác ABM và ECM

có AM = EM (gt)

góc AMB = góc EMC ( 2 góc đối đỉnh )

BM = CM ( M là trung điểm của BC )

=> tam giác ABM = tam giác ECM ( c.g.c ) (đpcm)

b, từ a có tam giác ABM = tam giác ECM ( c.g.c )

=> góc ABM = góc ECM ( 2 góc tương ứng )

mà hai góc đó nằm ở vị trí so le trong nên AB // CE (đpcm )

A B C H K I

a) Xét \(\Delta ABH,\Delta ACK\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\\widehat{A}:chung\\\widehat{AHB}=\widehat{AKC}=90^o\end{matrix}\right.\)

=> \(\Delta ABH=\Delta ACK\left(ch-gn\right)\)

=> \(BK=CH\) (2 cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta AIC,\Delta BHC\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{C}:Chung\\\widehat{AIC}=\widehat{BHC}=90^o\end{matrix}\right.\)

=> \(\Delta AIC\sim\Delta BHC\left(g.g\right)\)

=> \(\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{IC}{HC}\)

=> \(HC.AC=IC.BC\left(đpcm\right)\)

c) Ta có : \(AB=AC\left(gt\right)\)

\(BK=CH\left(câu-a\right)\)=> \(AB-BK=AC-CH\)

=> \(AK=AH\)

Thấy : \(\widehat{AKH}=\widehat{ABC}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\)

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

Nên : KH // BC => đpcm

* Cách khác :

Ta suy ra tỉ số : \(\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AH}{AC}\Rightarrow KH//BC\) (Đlý Ta- lét đảo)

d) BH cắt CK tại M => M là trực tâm của \(\Delta ABC\)

=> AM \(\perp\) BC tại I

Ta có :\(\Delta AIC\sim BHC\left(câu-b\right)\)

=> \(\dfrac{IC}{HC}=\dfrac{AC}{BC}hay\dfrac{\dfrac{a}{2}}{HC}=\dfrac{b}{a}=>HC=\dfrac{a^2}{2b}\)

=> \(AH=b-\dfrac{a^2}{2b}=\dfrac{2b^2-a^2}{2b}\)

Mà HK // BC (cmt) => \(\dfrac{HK}{BC}=\dfrac{AH}{AC}=>HK=\dfrac{AH.BC}{AC}\)

=> \(HK=\dfrac{a}{b}\left(\dfrac{2b^2-a^2}{2b}\right)=\dfrac{2ab^2-a^3}{2b^2}=a-\dfrac{a^3}{2b^2}\)

Ta có: \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3ab-3bc-3ac=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ac-2bc-2ab=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a=b=c\)