\(\sqrt{2023+2025}=\sqrt{2.2024}\)

\(2\sqrt{2024}=\sqrt{4.2024}\)

\(\sqrt{2.2024}< \sqrt{4.2024}\)

=> \(\sqrt{2023+2025}< 2.\sqrt{2024}\)

\(\sqrt{2023+2025}=\sqrt{2.2024}\\ 2\sqrt{2024}=\sqrt{4.2024}\\ \sqrt{2.2024}< \sqrt{4.2024}\\ \Rightarrow\sqrt{2023+2025< 2.\sqrt{2024}}\)

\(2\sqrt{2}=\sqrt{4.2}=\sqrt{8}\)

Vì \(8>1\Rightarrow\sqrt{8}>\sqrt{1}\Rightarrow2\sqrt{2}>1\)

\(2\sqrt{2}=2.\sqrt{2}\\ 2>1;\sqrt{2}>1\rightarrow2\sqrt{2}>1\)

 Ta đặt \(f\left(n\right)=\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+...+\sqrt{4}}}}\) (\(n\) dấu căn)

 Xét phương trình \(x^2-x-4=0\), pt này có nghiệm \(t=\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}< 3\). Ta sẽ chứng minh \(f\left(n\right)< t,\forall n\inℕ^∗\)

 Dễ thấy \(f\left(1\right)< t\). Giả sử \(f\left(n\right)< t\). Khi đó:

 \(f\left(n+1\right)=\sqrt{4+f\left(n\right)}< \sqrt{4+t}\).

 Mà \(4+t=t^2\)  (do \(t\) là nghiệm của pt \(x^2-x-4=0\)) nên suy ra \(f\left(n+1\right)< \sqrt{4+t}=\sqrt{t^2}=t\).

 Vậy \(f\left(n+1\right)< t\). Theo nguyên lí quy nạp \(\Rightarrow f\left(n\right)< t,\forall n\inℕ^∗\)

 Mà \(t< 3\) \(\Rightarrow f\left(n\right)< 3\), \(\forall n\inℕ^∗\). 

 Vậy \(\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+...+\sqrt{4}}}}< 3\) 

\(8=\sqrt{64}\)

vì 64>63

8>căn 63

\(13=\sqrt{169}\)

vì 170>169

căn 170 > 13

\(15=\sqrt{225}\)

vì 225<227

15 < căn 227

\(\sqrt{37}-\sqrt{15}>\sqrt{36}-\sqrt{16}=6-4=2\)

\(\Rightarrow\sqrt{37}-\sqrt{15}>2\)

Ta có: \(\sqrt{37}>\sqrt{36}\)

\(-\sqrt{15}>-\sqrt{16}\)

Do đó: \(\sqrt{37}-\sqrt{15}>\sqrt{36}-\sqrt{16}=2\)

-1 có căn k bạn?

39 < 103