PHẦN A – GIẢI TÍCH & HÀM SỐ (4 ĐIỂM)

Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 1$.

1. Tìm cực trị:

• Đạo hàm: $f'(x) = 3x^2 - 3$.
• Giải $f'(x) = 0$: $3(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x = 1$ hoặc $x = -1$.
• Xét đạo hàm cấp hai: $f''(x) = 6x$.
• • Tại $x = -1$: $f''(-1) = -6 < 0 \Rightarrow$ Hàm số đạt Cực đại tại $(-1, 3)$.
  • Tại $x = 1$: $f''(1) = 6 > 0 \Rightarrow$ Hàm số đạt Cực tiểu tại $(1, -1)$.

2. Giải phương trình $f(x) = 0$:

Đây là phương trình bậc 3 không có nghiệm nguyên đẹp. Tuy nhiên, dựa vào cực trị:

• $f(CĐ) = 3 > 0$ và $f(CT) = -1 < 0$.
• Vì $f(x)$ liên tục và tích hai cực trị trái dấu ($3 \cdot -1 < 0$), nên theo tính chất đồ thị, phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt.
• (Dùng phương pháp Cardano hoặc đồ thị: Nghiệm nằm trong các khoảng $(-2, -1)$, $(0, 1)$, và $(1, 2)$).

3. Tính tích phân:

📗 PHẦN B – MA TRẬN & ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (3 ĐIỂM)

Cho ma trận $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$.

1. Giá trị riêng và Vector riêng:

• Giải phương trình đặc trưng: $\det(A - \lambda I) = 0$. $$\begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)[(2-\lambda)^2 - 1] - 1(2-\lambda) = 0$$ $$(2-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 4 - 1 - 1) = (2-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 2) = 0$$
• Giá trị riêng: $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = 2 + \sqrt{2}$, $\lambda_3 = 2 - \sqrt{2}$.

2. Tính khả nghịch:

• $\det(A) = 2(4-1) - 1(2-0) = 6 - 2 = 4$.
• Vì $\det(A) = 4 \neq 0$, nên A khả nghịch.
• Ma trận nghịch đảo $A^{-1}$: $$A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$$

3. Tính $A^5$:

Vì A là ma trận đối xứng, ta có thể chéo hóa $A = PDP^{-1}$ với $D$ là ma trận đường chéo chứa các giá trị riêng. Khi đó $A^5 = P D^5 P^{-1}$. (Phần này tính tay hơi dài, nhưng hướng đi là lũy thừa các giá trị riêng trên đường chéo).

📙 PHẦN C – TỔ HỢP & XÁC SUẤT (3 ĐIỂM)

Hộp có 6 Đỏ (Đ), 4 Xanh (X). Tổng 10 quả. Lấy 3 quả.

Số cách lấy 3 quả bất kỳ: $C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$.

1. Xác suất lấy ít nhất 2 quả đỏ:

• Trường hợp 1: 2 Đỏ, 1 Xanh $\Rightarrow C_6^2 \cdot C_4^1 = 15 \cdot 4 = 60$.
• Trường hợp 2: 3 Đỏ, 0 Xanh $\Rightarrow C_6^3 = 20$.
• Tổng cách thuận lợi: $60 + 20 = 80$.
• Xác suất: $P = \frac{80}{120} = \frac{2}{3} \approx 66,67\%$.

2. Số hoán vị của 3 quả bóng rút ra:

Nếu thứ tự quan trọng (chỉnh hợp):

• $A_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ hoán vị.

3. Số cách chọn ít nhất 1 quả xanh:

Dùng biến cố đối (Không có quả xanh nào = 3 quả đỏ):

• Tổng số cách: 120.
• Số cách lấy 3 quả đỏ: $C_6^3 = 20$.
• Số cách lấy ít nhất 1 xanh: $120 - 20 = 100$ cách