Cho tam giác \(\triangle A B C\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left(\right. O ; R \left.\right)\). Đường tròn tâm \(I\), đường kính \(B C\), cắt các cạnh \(A B\) và \(A C\) lần lượt tại \(E\) và \(D\). Hai đường thẳng \(B D\) và \(C E\) cắt nhau tại \(H\).a) Chứng minh rằng \(A H \bot B C\).b) Kẻ đường kính \(A M\) của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), cắt \(D E\) tại \(Q\). Chứng minh rằng ba...
Đọc tiếp
Cho tam giác \(\triangle A B C\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left(\right. O ; R \left.\right)\). Đường tròn tâm \(I\), đường kính \(B C\), cắt các cạnh \(A B\) và \(A C\) lần lượt tại \(E\) và \(D\). Hai đường thẳng \(B D\) và \(C E\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh rằng \(A H \bot B C\).
b) Kẻ đường kính \(A M\) của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), cắt \(D E\) tại \(Q\). Chứng minh rằng ba điểm \(H , I , M\) thẳng hàng.
Bạn tham khảo nhé!
- (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra .
- (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra .
Trong tam giác , hai đường cao và cắt nhau tại . Do đó, là trực tâm của tam giác .Theo tính chất của trực tâm, đường thẳng đi qua đỉnh và trực tâm phải vuông góc với cạnh đối diện. Vậy . b) Chứng minh ba điểm thẳng hàng Để chứng minh thẳng hàng, ta sẽ chứng minh tứ giác là hình bình hành. 1. Chứng minh các cặp cạnh đối song song
- Vì là đường kính của đường tròn nên:
- .
- .
- Mặt khác, theo câu a, là trực tâm của nên:
- .
- .
2. Xác định hình bình hành- Từ và , suy ra .
- Từ and , suy ra .
- Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.
3. Kết luận về tính thẳng hàngCâu trả lời:
a: Xét (I) có
ΔBEC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBEC vuông tại E
=>CE⊥AB tại E
Xét (I) có
ΔBDC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBDC vuông tại D
=>BD⊥AC tại D
Xét ΔABC có
BD,CE là các đường cao
BD cắt CE tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH⊥BC
b: Xét (O) có
ΔABM nội tiếp
AM là đường kính
Do đó: ΔABM vuông tại B
=>BA⊥BM
mà CH⊥BA
nên CH//BM
Xét (O) có
ΔACM nội tiếp
AM là đường kính
Do đó: ΔACM vuông tại C
=>AC⊥CM
mà BH⊥AC
nên BH//CM
Xét tứ giác BHCM có
BH//CM
BM//CH
Do đó; BHCM là hình bình hành
=>BC cắt HM tại trung điểm của mỗi đường
mà I là trung điểm của BC
nên I là trung điểm của HM