a) Phần bù tới 1 của 37/ 67 là :

1 - 37 / 67 = 30 /67

Phần bù tới 1 của 377/ 677là :

1 - 377/677 = 300/677

Ta có : 30/67 = 300/670 > 300/677

nên 37/67 < 377/677

b) 25/21 = 21/21 + 4/21 = 1+4/21

255/215 = 215/215 + 40/215 = 1 + 40/215

Ta có : 4/21 = 40/210 > 40/215

nên 25/21 < 255/215

Ta có

1-37/67=30/67

1-377/677=300/677

Vì 30/67>300/677

=> 37/67<377/677

Ta có:

5^255 = 5^3.75 = 125^75

2^579 > 2^525 = 2^7.75= 128^75

Như vậy: 2^579 > 128^75 > 125^75 = 5^255

Vậy: 2^579 > 2^255

\(2^{589}>5^{255}\)

Ta có: 
5^5 = 3125 
3.4^5 = 3.1024 = 3072 

mà 5^5 > 2^10*3 <=> (5^5)^51> (2^10)^51*3^51 = 2^510*3^51. 
Vế phải 2^589= 2^510*2^79. 
Nếu c/m được 3^51> 2^79 =>5^255 > 2^589. 
Ta có 3^7 > 2^11 => (3^7)^7 > (2^11)^7 <=> 3^49>2^77, mà 3^2 > 2^2 nên 3^51> 2^79 => đpcm !

Ta có 5\(^5\) > 2\(^{10}.3\) \(\Leftrightarrow\left(5^5\right)\)\(^{51}\) > (2\(^{10}\))\(^{51}\)\(.3^{51}\) = 2\(^{510}\)\(.3^{51}\).
Vế phải 2\(^{589}\)= 2\(^{510}\)\(.2^{79}\).
Nếu chứng minh được 3\(^{51}\) > 2\(^{79}\) \(\Rightarrow\) 5\(^{255}\) > 2\(^{589}\).
Ta có 3\(^7\) > 2\(^{11}\) \(\Rightarrow\) (3\(^7\))\(^7\) > (2\(^{11}\))\(^7\) \(\Leftrightarrow\) 3\(^{49}\) > 2\(^{77}\), mà 3\(^2\) > 2\(^2\) nên 3\(^{51}\)> 2\(^{79}\)\(\Rightarrow\) đpcm !

5^5 = 3125 
3.4^5 = 3.1024 = 3072 
Mà 3125 > 3072 
Nên 5^5 > 3.1024 
=> 5^5 : 1024 > 3.1024 : 1024 
=> 3125/1024 > 3 
=> (5/4)^5 > 3 
Mà [(5/4)^5]^51 = (5/4)^225 và [(5/4)^5]^51 > 3^51 
Nên (5/4)^225 > 3^51 (1) 
Áp dụng bất đẳng thức bec - nu - li thì: 
(9/8)^8 = (1 + 1/8)^8 > 1 + 8.1/8 = 2. 
=> [(9/8)^8]^3 = (9/8)^24 > 2^3 
=> (9/8)^24.8^24 = 9^24 > 2^3.8^24 = 2^3.2^72 = 2^75 
=> 3^48 > 2^75 
=> 3^51 > 2^75.3^3 > 2^75.2^4 = 2^79 (2) 
Từ (1) và (2) ta có: 
(5/4)255 > 2^79 => 5^255 > 2^79.4^225 = 2^589 
=> 5^225 > 2^589

Tuy bài làm hơi khó hiểu, bạn cố gằng đọc thật kĩ mới rõ được.

Đáp Án : 5²⁵⁵ >2⁵⁷⁹

2 mũ 255 >2 mũ 150

Vì 255<150

2^225 và 2^150

Vì 225 > 150

Suy ra : 2^225 > 2^150

Vậy 2^225 > 2^150

( ^ là mũ nhé bạn )