\(P=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{xy}+4xy=\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\left(4xy+\dfrac{1}{4xy}\right)+\dfrac{5}{4xy}\)

\(=\left(\dfrac{2xy}{x^2+y^2}+\dfrac{x^2+y^2}{2xy}+2\right)+\left(4xy+\dfrac{1}{4xy}\right)+\dfrac{5}{4xy}\)

+) \(\dfrac{2xy}{x^2+y^2}+\dfrac{x^2+y^2}{2xy}\ge2\)

+) \(4xy+\dfrac{1}{4xy}\ge2\)

+) \(\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{4}{1}\Rightarrow\dfrac{5}{4xy}\ge5\)

\(\Rightarrow minP=11,t\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

\(y\ge xy+1\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\sqrt{\dfrac{y}{x}}\ge2\Rightarrow\dfrac{y}{x}\ge4\)

\(Q=\dfrac{1-\dfrac{2y}{x}+2\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}{\dfrac{y}{x}+\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}\)

Đặt \(\dfrac{y}{x}=a\ge4\)

\(Q=\dfrac{2a^2-2a+1}{a^2+a}=\dfrac{2a^2-2a+1}{a^2+a}-\dfrac{5}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{\left(a-4\right)\left(3a-1\right)}{4\left(a^2+1\right)}+\dfrac{5}{4}\ge\dfrac{5}{4}\)

\(Q_{min}=\dfrac{5}{4}\) khi \(a=4\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)

\(\Leftrightarrow p=\left(xy\right)^4+1+x^4+y^4\)ap dung bat dang thuc cosi

\(\Leftrightarrow p\ge4\left(xy\right)^2vi\left(xy\right)^2\ge0\Rightarrow\)p nho nhat  

Đề là: \(Q=\left(1+\dfrac{a}{x}\right)\left(1+\dfrac{a}{y}\right)\left(1+\dfrac{a}{z}\right)\) đúng không em nhỉ?

Ta có:

\(Q=\left(1+\dfrac{x+y+z}{x}\right)\left(1+\dfrac{x+y+z}{y}\right)\left(1+\dfrac{x+y+z}{z}\right)\)

\(=\dfrac{\left(x+x+y+z\right)\left(x+y+y+z\right)\left(x+y+z+z\right)}{xyz}\)

\(Q\ge\dfrac{4\sqrt[4]{x^2yz}.4\sqrt[4]{xy^2z}.4\sqrt[4]{xyz^2}}{xyz}=\dfrac{64xyz}{xyz}=64\)

\(Q_{min}=64\) khi \(x=y=z=\dfrac{a}{3}\)

Giờ bạn cần bài này nữa không 

1.   Đặt A = x²+y²+z²

             B = xy+yz+xz

             C = 1/x + 1/y + 1/z

Lại có (x+y+z)²=9

             A + 2B = 9

  Dễ chứng minh A>=B 

      Ta thấy 3A>=A+2B=9 nên A>=3 (khi và chỉ khi x=y=z=1)

Vì x+y+z=3 => (x+y+z) /3 =1 

    C = (x+y+z) /3x  +  (x+y+x) /3y + (x+y+z)/3z

C = 1/3[3+(x/y+y/x) +(y/z+z/y) +(x/z+z/x) 

Áp dụng bất đẳng thức (a/b+b/a) >=2

=> C >=3 ( khi và chỉ khi x=y=z=1)

P =2A+C >= 2.3+3=9 ( khi và chỉ khi x=y=x=1

Vậy ...........

Câu 2 chưa ra thông cảm 

a) \(6xy+4x-9y-7=0\)

  \(\Leftrightarrow2x.\left(3y+2\right)-9y-6-1=0\)

\(\Leftrightarrow2x.\left(3y+x\right)-3.\left(3y+2\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right).\left(3y+2\right)=1\)

Mà \(x,y\in Z\Rightarrow2x-3;3y+2\in Z\)

Tự làm típ

\(A=x^3+y^3+xy\)

\(A=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\)

\(A=x^2-xy+y^2+xy\)( vì \(x+y=1\))

\(A=x^2+y^2\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovxky ta có :

\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x\cdot1+y\cdot1\right)^2=\left(x+y\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)

Hay \(x^3+y^3+xy\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

x+y=1=>y=1-x

\(Q=2x^2-y^2+x+\frac{1}{x}+2020\)\(=2x^2-\left(1-x\right)^2+x+\frac{1}{x}+2020\)\(=2x^2-\left(1-2x+x^2\right)+x+\frac{1}{x}+2020\)\(=2x^2-1+2x-x^2+x+\frac{1}{x}+2020\)

\(=\left(x^2+2x+1\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)+2018\)\(=\left(x+1\right)^2+\left(x+\frac{1}{x}\right)+2018\)

Ta có: \(\left(x+1\right)^2\ge0\forall x>0\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(x\)và \(\frac{1}{x}\):

\(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\)

\(\Rightarrow Q\ge2+2018=2020\)

Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+1=0\\x=\frac{1}{x}\end{cases}\Leftrightarrow x=-1}\)\(\Rightarrow y=1-\left(-1\right)=2\)

Vậy \(minQ=2020\Leftrightarrow x=-1;y=2\)

thế x+y+z=1 vào P sau đó dùng bunhiacopski

bạn trình bày cụ thể cho mình được không ạ?