tick đi mk làm cho đầy đủ k thíu 1 chữ

X =2 

tick nhé

a, 1 - 2x < 7

=> -2x < 6

=> x < -3

=> x thuộc {-4; -5; -6; ...}

b, \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)>0\)

th1 :

\(\hept{\begin{cases}x-1< 0\\x-2< 0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< 1\\x< 2\end{cases}\Rightarrow}x< 1\Rightarrow x\in\left\{0;-1;-2;...\right\}}\)

th2 :

\(\hept{\begin{cases}x-1>0\\x-2>0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>1\\x>2\end{cases}\Rightarrow}x>2\Rightarrow x\in\left\{3;4;5;...\right\}}\)

vậy_

c tương tự b

\(a.1-2x< 7\Leftrightarrow2x< 7+1=8\Leftrightarrow x< 8:2\Leftrightarrow x< 4\)

Vậy x < 4

\(b.\left(x-1\right)\left(x-2\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1>0;x-2>0\\x-1< 0;x-2< 0\end{cases}}\)

\(TH1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1>0\\x-2>0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x>0+1=1\\x>0+2=2\end{cases}\Rightarrow x>2}}\)

\(TH2\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1< 0\\x-2< 0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x< 0+1=1\\x< 0+2=2\end{cases}\Rightarrow}}x< 2\)

Vậy \(x\ne2\)

\(x^2+y^2+1\ge xy+x+y\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\left(1\right)\)

\(y^2+1\ge2\sqrt{y^2}=2y\left(2\right)\)

\(x^2+1\ge2\sqrt{x^2}=2x\left(3\right)\)

Cộng theo vế của (1);(2) và (3) ta có:

\(2\left(x^2+y^2+1\right)\ge2\left(xy+x+y\right)\Leftrightarrow x^2+y^2+1\ge xy+x+y\)

Dấu "=" khi \(x=y\)

Giải:

a) \(x^2+xy+y^2+1\)

\(=x^2+2.x.\dfrac{y}{2}+\left(\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+1\)

\(=\left(x^2+2.x.\dfrac{y}{2}+\left(\dfrac{y}{2}\right)^2\right)+\dfrac{3y^2}{4}+1\)

\(=\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+1\ge1>0;\forall x\)

Vậy ...

Hắc Hường BĐT ở đây. Cj nghĩ cấp 2 chỉ học 1 số loại này thôi

1.BĐT Cauchy

\(A+B\ge2\sqrt{AB}\) (Áp dụng cho 2 số k âm)

\(A+B+C\ge3\sqrt[3]{ABC}\) (Áp dụng cho 3 số k âm )

2.BĐT Bunhiacopxki

\(\left(Ax+By\right)^2\le\left(A^2+B^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)

3.BĐT Mincopxki

\(\sqrt{A^2+x^2}+\sqrt{B^2+y^2}\ge\sqrt{\left(A+B\right)^2+\left(x+y\right)^2}\)

4.BĐT Chebyshev

Với A>B, x>y thì

\(\left(A+B\right)\left(x+y\right)\le2\left(ax+by\right)\)

Vs 3 sô thì bên vế phải thay 2 bằng 3

5.BĐT Benuli

\(\left(1+h\right)^n\ge1+nh\)

6.BĐT Holder

Với a,b,c,x,y,z,m,n,p là sô thực dương

\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)\ge\left(axm+byn+czp\right)^3\)

7.BĐT Sơ-vác-sơ

\(\dfrac{a_1^2}{b_1}+\dfrac{a^2_2}{b_2}+...+\dfrac{a^2_n}{b_n}\ge\dfrac{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2}{b_1+b_2+...+b_n}\)

8. \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

9. \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\)

10. \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\)

11. \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

12. \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)13. \(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)

14. \(\dfrac{a^3}{b}\ge a^2+ab-b^2\)( Ít áp dụng )

15. \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)

\(\left|a\right|-\left|b\right|\le\left|a-b\right|\)

\(\left|\dfrac{x}{y}\right|+\left|\dfrac{y}{x}\right|\ge\left|\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right|\ge2\)

16. \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)

\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

b. Ta có: \(\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)=\left(2-1\right)\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)=\left(2^4-1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)=\left(2^8-1\right)\left(2^8+1\right)=2^{16}-1< 2^{16}\)

\(\Rightarrow\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)< 2^{16}\)

\(\dfrac{x-y}{x+y}=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)}\)

\(\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\dfrac{\left(x+y\right)\left(x^2-y^2\right)}{\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)}\)

Như vậy cần so sánh:

\(\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)\) và \(\left(x+y\right)\left(x^2-y^2\right)\)

Cần so sánh:

\(x\left(x^2+y^2\right)-y\left(x^2+y^2\right)\) và \(x\left(x^2-y^2\right)+y\left(x^2-y^2\right)\)

\(x^3+xy^2-yx^2-y^3\) và \(x^3-xy^2+yx^2-y^3\)

\(\left(x^3-y^3\right)+xy^2-yx^2\) và \(\left(x^3-y^3\right)-xy^2+yx^2\)

Cần so sánh:

\(xy^2-yx^2\) và \(yx^2-xy^2\)

Cộng cả 2 vế với \(xy^2\) và \(yx^2\)

Cần so sánh:

\(xy^2-yx^2+xy^2+yx^2\) và \(yx^2-xy^2+xy^2+yx^2\)

Cần so sánh

\(2xy^2\) và \(2yx^2\)

\(xy^2\) và \(yx^2\)

Xét các trường hợp nhỏ hơn,lớn hơn,bằng

\(\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\)

\(=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\)

\(=\left(2^4-1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\)

\(=\left(2^8-1\right)\left(2^8+1\right)\)

\(=2^{16}-1< 2^{16}\)

Ta có:

\(\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\)

\(\frac{y}{y+1}=1-\frac{y}{y+1}\)

\(\frac{z}{z+4}=1-\frac{4}{z+4}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4}\right)\)

\(\le\left[3-\left(\frac{4}{x+y+2}+\frac{4}{z+4}\right)\right]\le\left(3-\frac{16}{x+y+z+6}\right)=3-\frac{16}{6}=\frac{1}{3}\)