Lời giải:

Không mất tính tổng quát. Giả sử \(x\geq y\Rightarrow 2x\geq 2017\Rightarrow x\geq 1009\) (do \(x\) nguyên dương)

Thực hiện biến đổi P

\(P=x(x^2+y)+y(y^2+x)=(x^3+y^3)+2xy\)

\(\Leftrightarrow P=(x+y)(x^2-xy+y^2)+2xy\)

\(\Leftrightarrow P=2017(x^2-xy+y^2)+2xy=2017(x+y)^2-6049xy\)

\(\Leftrightarrow P=2017^3-6049xy=2017^3-6049x(2017-x)\)

\(\Leftrightarrow P=6049x^2-6049.2017xy+2017^3\)

Tìm max:

Tiếp tục biến đổi :\(P=6049(x-1)(x-2016)+2017^3-2016.6049\)

Vì \(x\)  nguyên dương \(\Rightarrow x\geq 1\)

\(y\geq 1\Rightarrow x=2017-y\leq 2016\)

Do đó \((x-1)(x-2016)\leq 0\Rightarrow P\leq 2017^3-2016.6049\)

Vậy \((Max) P=2017^3-2016.6049\Leftrightarrow (x,y)=(2016,1)\) và hoán vị

Tìm min: 

Biến đổi \(P=6049(x-1008)(x-1009)+2017^3-1008.1009.6049\)

Vì \(x\geq 1009\Rightarrow (x-1008)(x-1009)\geq 0\), do đó \(P\geq 2017^3-1008.1009.6049\)

Vậy \((Min)P=2017^3-6049.1008.1009\Leftrightarrow (x,y)=(1009,1008)\) và hoán vị.

? cho a,b,c tìm x,y,z là seo?

chắc đề cho x+y+z=1

\(=>\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)

\(=>\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}\)

\(=\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

làm tương tự với \(\dfrac{y}{y+\sqrt{y+xz}},\dfrac{z}{z+\sqrt{z+xy}}\)

\(=>A\le\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) dấu"=" xảy ra<=>x=y=z=`/3

Lời giải:
$xy+12=x+y$

$\Rightarrow xy-x-y=-12$

$\Rightarrow x(y-1)-y=-12$

$\Rightarrow x(y-1)-(y-1)=-11$

$\Rightarrow (y-1)(x-1)=-11$

Do $x,y$ nguyên nên $x-1,y-1$ cũng nguyên. Ta có bảng:

\(A^2=\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}\right)^2\le2\left(x+1+y+2\right)=36\)

\(\Rightarrow A\le6\)

\(A_{max}=6\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=8\\y=7\end{matrix}\right.\)

Ta có: 2^x-1.3^y+1=12^x+y

=>2^x-1.3^y+1=(4.3)^x+y

=>2^x-1.3^y+1=4^x+y.3^x+y

=>4^x+y:2^x-1=3^y+1:3^x+y

=>2^2x+2y:2^x-1=3^y+1:3^x+y

=>2^2x+2y-x+1=3^y+1-x-y

=>2^x+2y+1=3^1-x

*Xét x+2y+1=0=>2^x+2y+1=2⁰=1=3^1-x=3⁰=>1-x=0=>x=1

=>x+2y+1=0=>1+2y+1=0=>2+2y=0=>2y=-2=>y=-1

*Xét x+2y+1>0=>2^x+2y+1 chia hết cho 2=>3^1-x chia hết cho 2

=>Vô lí

Vậy x=1,y=-1

neu la so nguyen duong con tim duoc chu tinh so nguyen am thi chiu

Ta có : \(2^{x+1}.3^y=12^x\)

\(\Leftrightarrow3^y=\dfrac{12^x}{2^{x+1}}=\dfrac{3^x.4^x}{2^{x+1}}=\dfrac{3^x.2^{2x}}{2^{x+1}}=3^x.2^{2x}:2^{x+1}=3^x.2^{x-1}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3^y}{3^x}=2^{x-1}\)

\(\Leftrightarrow3^{y-x}=2^{x-1}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-x=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1\)(tm) 

Vậy (x;y) = (1;1) nghiệm của phương trình trên 

y=x=1