Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) sao cho OM = 2R,kẻ hai tiếp tuyến MB,MC đến (O) (B,C là hai tiếp điểm).Kẻ đường kính BK của (O),MK cắt (O) tại E (E ≠ K),gọi H là giao điểm của MO và BC.a)Chứng minh: MO ⊥ BC và tứ giác MEHB nội tiếp.b)Chứng minh: △CEH ∞ △MEB và suy ra CE ⊥ HE.c)Kẻ dây cung BA của (O) song song với MK.Tính tích BM,BA theo...
Đọc tiếp
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) sao cho OM = 2R,kẻ hai tiếp tuyến MB,MC đến (O) (B,C là hai tiếp điểm).Kẻ đường kính BK của (O),MK cắt (O) tại E (E ≠ K),gọi H là giao điểm của MO và BC.
a)Chứng minh: MO ⊥ BC và tứ giác MEHB nội tiếp.
b)Chứng minh: △CEH ∞ △MEB và suy ra CE ⊥ HE.
c)Kẻ dây cung BA của (O) song song với MK.Tính tích BM,BA theo R.
a: Xét (O) có
MB,MC là các tiếp tuyến
Do đó: MB=MC
=>M nằm trên đường trung trực của BC(1)
TA có; OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của BC
=>MO⊥BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét (O) có
ΔBEK nội tiếp
BK là đường kính
Do đó: ΔBEK vuông tại E
=>BE⊥MK tại E
Xét tứ giác MEHB có \(\hat{MEB}=\hat{MHB}=90^0\)
nên MEHB là tứ giác nội tiếp
=>M,E,H,B cùng thuộc một đường tròn
Giả thiết
a) Chứng minh MO ⟂ BC và tứ giác MEHB nội tiếp
🔹 Chứng minh MO ⟂ BC
Ta có:
⇒ O và M cùng nằm trên đường trung trực của BC
⇒ OM ⟂ BC (đpcm)
🔹 Chứng minh tứ giác MEHB nội tiếp
Ta có:
Vì M, E, K thẳng hàng nên:
Mặt khác, vì OM ⟂ BC và H ∈ BC nên:
Suy ra:
b) Chứng minh △CEH ∞ △MEB và suy ra CE ⟂ HE
Xét hai tam giác CEH và MEB:
Ta có:
Mà:
⇒ Hai góc trên bằng nhau
⇒ △CEH ∞ △MEB (g-g)
🔹 Suy ra CE ⟂ HE
Từ đồng dạng ta có:
\(\frac{C E}{E H} = \frac{M E}{E B}\)
Mà trong tứ giác nội tiếp MEHB:
\(M E \cdot M K = M B^{2}\)
Kết hợp suy ra:
\(C E \cdot E H = \text{h} \overset{ˋ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \Rightarrow \angle C E H = 90 °\)
⇒ CE ⟂ HE (đpcm)
c) Kẻ dây BA // MK. Tính BM·BA theo R
Ta có:
\(M B^{2} = O M^{2} - R^{2} = \left(\right. 2 R \left.\right)^{2} - R^{2} = 4 R^{2} - R^{2} = 3 R^{2}\)
⇒ MB = R√3
Xét tam giác OMB vuông tại B:
\(sin \angle M O B = \frac{M B}{O M} = \frac{R \sqrt{3}}{2 R} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
⇒ ∠MOB = 60°
Suy ra:
✅ Kết luận:
\(B M \cdot B A = \left(\right. R \sqrt{3} \left.\right) \cdot R = R^{2} \sqrt{3}\)