Câu VI (1,5 điểm): Cho $a, b, c$ là 3 cạnh tam giác. Chứng minh: $ab+bc+ca \le a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca)$.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
K
6 tháng 7 2019
B M I A C
a) Ta lần lượt xét:
- Trong \(\Delta AMI\), ta có:
\(MA< IA+IM\Leftrightarrow MA+MB< IA+IM+MB\)
\(\Leftrightarrow MA+MB< IA+IB\) (1)
- Trong \(\Delta BIC\),ta có:
\(IB< CI+CB\Leftrightarrow IA+IB< IA+CI+CB\)
\(\Leftrightarrow IA+IB< CA+CB\) (2)
Từ (1), (2), ta nhận được \(MA+MB< IA+IB< CA+CB,đpcm\)
b) Ta lần lượt xét:
- Trong \(\Delta MAB\), ta có \(MA+MB>AB\left(3\right)\)
- Trong \(\Delta MBC\), ta có \(MB+MC>BC\left(4\right)\)
- Trong \(\Delta MAC,\)ta có \(MA+MC>AC\left(5\right)\)
Cộng theo vế (3),(4),(5), ta được:
\(2\left(MA+MB+MC\right)>AB+BC+AC\)
\(\Leftrightarrow MA+MB+MC>\frac{1}{2}\left(AB+BC+AC\right),đpcm.\)
Mặt khác dựa theo kết quả cua câu a), ta có:
\(MA+MB< CA+CB\left(6\right)\)
\(MB+MC< AB+AC\left(7\right)\)
\(MA+MC< BA+BC\left(8\right)\)
Cộng theo vế (6),(7),(8), ta được:
\(2\left(MA+MB+MC\right)< 2\left(AB+BC+AC\right)\)
\(\Leftrightarrow MA+MB+MC< AB+BC+AC,đpcm.\)
14 tháng 3 2016
3 đoạn thẳng OA,OB,OC thỏa mãn bất đẳng thức ta chứng minh
OA + OB > OC và OA - OB<OC .....
Trong tam giác AOB có OA + OB > AB => OA + OB > AC (1).
Do O nằm trong tam giác ABC => góc OAC < góc BAC => góc OAC < 60 độ
và góc OCA < góc BCA => góc OCA < 60 độ => góc AOC > 60 độ
trong tam giác AOC góc AOC lớn nhất => AC lớn nhất =>OC < AC (2)
từ (1) và (2) => OA + OB > OC tương tự ta có OB + OC > OA
=> OC > OA - OB hay OA-OB<OC....
29 tháng 9 2016
\(x^2+xy+y^2+1=\left(x^2+xy+\frac{y^2}{4}\right)+\frac{3y^2}{4}+1=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+1>0\)
a\(^2\) - 2ab + b\(^2\)
= a\(^2\) - ab - ab + b\(^2\)
= (a\(^2\) - ab) - (ab - b\(^2\))
= a(a -b) - b(a - b)
= (a -b)(a -b)
= (a - b)\(^2\) ≥ 0 ∀ a; b
Suy ra: a\(^2\) - 2ab + b\(^2\) ≥ 0
a\(^2+b^2\) ≥ 2ab
CMTT ta có: b\(^2\) + c\(^2\) ≥ 2bc
\(a^2+c^2\) ≥ 2ac
Cộng vế với vế ta có: 2a\(^2\) + 2b\(^2\) + 2c\(^2\) ≥ 2ab + 2bc + 2ac
Suy ra: a\(^2+b^2+c^2\) ≥ ab + bc + ac (1)
Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:
a\(^2\) < a(b + c) = ab + ac
b\(^2\) < b(a + c) = ab + bc
c\(^2\) < c(a + b) = ac + bc
Cộng vế với vế ta có:
a\(^2+b^2+c^2\) < 2(ab + bc + ac) (2)
kết hợp (1) và (2) ta có:
ab + bc + ac ≤ a\(^2+b^2+c^2\) < 2(ab + bc + ac) (đpcm)