\(A=\frac{n^4-3n^3-n^2+3n+7}{n-3}=\frac{n^3\left(n-3\right)-\left(n^2-3n\right)+7}{n-3}=\frac{n^3\left(n-3\right)-n\left(n-3\right)+7}{n-3}\)

\(=\frac{\left(n-3\right)\left(n^3-n\right)+7}{n-3}=\frac{\left(n-3\right)\left(n^3-n\right)}{n-3}+\frac{7}{n-3}=n^3-n+\frac{7}{n-3}\)

Theo đề bài n là số nguyên => \(n^3-n\) là số nguyên

Để \(n^3-n+\frac{7}{n-3}\) có giá trị là 1 số nguyên <=> \(\frac{7}{n-3}\) có giá trị là 1 số nguyên

=> n - 3 là ước của 7 => Ư(7) = { - 7; - 1; 1; 7 }

Ta có bảng sau :

Mà x là số nguyên lớn nhất => x = 10

Vậy x = 10

n-3={-7,-1,1,7)

n={-4,2,4,10}

1, 3n + 14 chia hết cho n + 1

Mà n + 1 chia hết cho n + 1 => 3(n + 1) chia hết cho n + 1

Từ 2 điều trên => (3n + 14) - 3(n + 1) chia hết cho n + 1

=> 3n + 14 - 3n - 3 chia hết cho n + 1

=> (3n - 3n) + (14 - 3) chia hết cho n + 1

=> 11 chia hết cho n + 1

=>n + 1 E Ư(11)

=> n + 1 E {-1; 1; -11; 11}

=> n E {-2; 0; -12; 10}

Vậy...

   thấy hay thì tick nhé mọi người 

Nếu đề là tìm n để phím chia hết thì làm như sau
 n^2 +3n -7 : n-3
n(n+3)-7: n-3
 vì n(n+3) chia hết cho n+3 nên để n^2 +3n -7 chia hết cho n+3 thì -7 chia hết cho n+3
=> n+3 thuộc Ư(7)={1,7,-1,-7}
n+3=1 => n= -2
n+3=7 => n= 4
n+3 = -1 => n=-4
n+3=7 => n =-10
 

b, n^2 +5 : n+1 
n^2 -1+6 : n+1
(n-1)(n+1) + 6: n+1         ( n^2 -1 =(n+1)(n-1) là dùng hằng đẳng thức lớp 8 sẽ học)
vì (n-1)(n+1) chia hết cho n+1 nên để n^2 +5 chia hết n+1 thì 6 phải chia hết cho n+1
=> n+1 thuộc Ư(6)={1,2,3,6,-1,-2,-3,-6}
n+1 =1 =>n=0
n+1=2=>n=1
n+1=3=>n=2
n+1=6=>n=5
n+1=-1=>n=-2
n+1=-2=>n=-3
n+1=-3=>n=-4
n+1=-6=>n=-7

Để \(\frac{n-4}{n-1}\)là số nguyên thì n-4 \(⋮\)n-1

Ta có: n-4\(⋮\)n-1 

          n-1\(⋮\)n-1 

\(\Rightarrow\)(n-4)-(n-1)\(⋮\)n-1

 \(\Rightarrow\)-3\(⋮\)n-1

\(\Rightarrow\)n-1\(\in\)Ư(-3)={-3;-1;1;3}

+)N-1=-3\(\Rightarrow\)n=-2

+)n-1=-1\(\Rightarrow\)n=0

+)n-1=1\(\Rightarrow\)n=2

+)n-1=3\(\Rightarrow\)n=4

Vậy n\(\in\){-2;2;0;4}

tk nha

\(\frac{n-4}{n-1}\)có giá trị nguyên

=>\(n-4⋮n-1\)

=>\(n-4=n-1-3\)

=>3 chia hết cho n-1

mà 3 chia hết cho -3;-1;1;3

vậy..

    n² ( n + 1) +2n (n + 1 )

       = n (n + 1 ) ( n + 2 )

        Vì n ; n + 1 ; n + 2 là các số tự nhiên liên tiếp

           \(\Rightarrow\) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) chia hết cho 6

            Vậy n² ( n + 1 ) ( n + 2 ) luôn chia hết cho 6 với mọi giá trị của n

Ta có n^2(n+1)+2n(n+1) = n^3+3n^2+2n = n(n^2+3n+2) = n(n+1)(n+2) 
Ta thấy n, n+1, n+2 là ba số nguyên liên tiếp với n nguyên 
=> trong 3 số n, n+1, n+2 có một số chia hết cho 3, có ít nhất một số chia hết cho 2 
=> n(n+1)(n+2) chia hết cho 2*3 = 6 (vì ƯCLN(2;3)=1) 
Vậy ta được điều phải chứng minh

n=3

tick nha,100% là đúng

Ta có: a=2n-7+11/2n-7=1-(11/2n-7)

suy ra 2n-7 thuộc Ư(11)={+-1:+-11}

Xét từng trường hợp là tìm được n

 kết luận:.........................................................

7 - 2n ⋮ 2n + 1

<=> 7 - 2n - 1 + 1 ⋮ 2n + 1

<=> 7 + 1 - (2n + 1) ⋮ 2n + 1

<=> 8 - (2n + 1) ⋮ 2n + 1

=> 8 ⋮ 2n + 1 Hay 2n + 1 là ước của 8

=> Ư(8) = { ± 1; ± 2; ± 4; ± 8 }

Mà 2n + 1 là số lẻ => 2n + 1 = { ± 1 }

Ta có : 2n + 1 = - 1 <=> 2n = - 2 => n = - 1 (TM)

           2n + 1 = 1 <=> 2n = 0 => n = 0 (TM)

Vậy n = { - 1; 0 }