tìm m n nguyên dương để m^12/1023m+n và n^12/1023n+m là snt
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NQ
1
TN
1
LL
0
TL
27 tháng 12 2014
Thay hướng dẫn tiếp phần b nhé:
Giả sử cả 3 số p;q;r đều không chia hết cho 3 thế thì p2;q2;r2 chia cho 3 chỉ dư 1 ( vì p;q;r nguyên tố)
Suy ra: p2 + q2 + r2 chia hết cho 3 mà p2 + q2 + r2 >3 suy ra p2 + q2 + r2 là hợp số ( mâu thuẫn đề bài).
Vậy điều giả sử là sai suy ra trong 3 số tồn tại ít nhất một số chia hết cho 3
Không mất tính tổng quat giả sử p<q<r\(\Rightarrow\)p chia hết cho 3 mà p là số nguyên tố suy ra p = 3
Lại có: p;q;r là 3 số nguyên tố liên tiếp nên q = 5; r=7
Vậy (p;q;r) = (3;5;7) và các hoán vị
28 tháng 12 2014
b, Giả sử 3 số nguyên tố p, q, r đều không chia hết cho 3 mà một số chính phương chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1
Nếu p^2, q^2, r^2 chia hết cho 3 suy ra p^2 + q^2 + r^2 chia hết cho 3 ( là hợp số, loại )
Nếu p^2, q^2, r^2 cùng chia 3 dư 1 suy ra p^2 + q^2 + r^2 chia hết cho 3 ( loại )
Nếu trong 3 số có 1 số chia hết cho 3 suy ra p^2 + q^2 + r^2 chia 3 dư 2 ( 2 số còn lại chia 3 dư 1 ) loại vì không có số chính phương nào chia 3 dư 2
Nếu trong 3 số có 1 số chia 3 dư 1 thì p^2 + q^2 + r^2 chia 3 dư 1 ( 2 số còn lại chia hết cho 3 ) chọn
Vậy trong 3 số p , q , r phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3
mà p, q, r là các số nguyên tố nên có 1 số nhận giá trị là 3.
Do 1 ko là số nguyên tố nên bộ ba số nguyên tố có thể là 2 - 3 - 5 hoặc 3 - 5 - 7
Với 3 số nguyên tố là 2 - 3 - 5 thì p^2 + q^2 + r^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 = 38 ( là hợp số, loại )
Vậy 3 số nguyên tố cần tìm là 3 5 7
Nguyễn Vân Huyền đã chọn câu trả lời này
Mình sẽ phân tích kỹ đề này nhé 🤓.
Đề bài
Tìm (m, n \in \mathbb{Z}+) sao cho: [ \frac{m{12}}{1023m+n} \quad \text{và} \quad \frac{n^{12}}{1023n+m} ] đều là số nguyên tố.
Bước 1: Điều kiện chia hết
Để biểu thức (\dfrac{m^{12}}{1023m+n}) là số nguyên, ta cần: [ 1023m+n \mid m^{12}. ] Tương tự: [ 1023n+m \mid n^{12}. ]
Bước 2: Nhận xét
Bước 3: Thử các giá trị nhỏ
Ta thử (m=1):
[ \frac{1^{12}}{1023\cdot 1 + n} = \frac{1}{1023+n}. ] Không thể là số nguyên tố.
Thử (m=2):
[ \frac{2^{12}}{2046+n} = \frac{4096}{2046+n}. ] Muốn chia hết, (2046+n) phải là ước của 4096. Nhưng 4096 chỉ có các ước là lũy thừa của 2 (≤ 4096).
Mà (2046+n) ≥ 2047, nên chỉ có thể bằng 2048.
→ (2046+n = 2048 \Rightarrow n=2).
Khi đó: [ \frac{4096}{2048} = 2 \quad \text{(số nguyên tố)}. ]
Kiểm tra điều kiện thứ hai với (n=2, m=2):
[ \frac{2^{12}}{1023\cdot 2 + 2} = \frac{4096}{2048} = 2 \quad \text{(số nguyên tố)}. ]
Bước 4: Kết luận
Cặp duy nhất thỏa mãn là: [ m = 2, \quad n = 2. ]
✅ Đáp số: (m=n=2).
Bạn có muốn mình chỉ thêm cách tổng quát hóa để tìm các cặp khác (nếu có) bằng cách xét ước số của lũy thừa nhỏ không?