giải hệ phương trình sau:
\(\begin{cases}x^3-5x=y^3+5y\\ x^4+y^2=2\end{cases}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
29 tháng 9 2017
Ta có phương trình \(\hept{\begin{cases}x^3-y^3=4\left(4x-y\right)\left(1\right)\\y^2-5x^2=4\left(2\right)\end{cases}}\)
Thế phương trình (2) vào phương trình (1) , ta có \(x^3-y^3=\left(y^2-5x^2\right)\left(4x-y\right)\Rightarrow x^3-y^3=4xy^2-y^3-20x^3+5x^2y\)
\(\Rightarrow21x^3-4xy^2-5x^2y=0\Rightarrow x\left(21x^2-5xy-4y^2\right)=0\)
TH1: x = 0
Khi đó ta có \(y^2=4\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=2\\y=-2\end{cases}}\)
TH2: \(21x^2-5xy-4y^2=0\)
Với \(y=0\Rightarrow x=0\) (Không thỏa mãn phương trình). Vậy \(y\ne0\)
Chia hai vế phương trình cho y2, ta có \(\frac{21x^2}{y^2}-\frac{5x}{y}-4=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{4}{7}\\\frac{x}{y}=-\frac{1}{3}\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{4}{7}y\\x=-\frac{1}{3}y\end{cases}}\)
Với \(x=\frac{4}{7}y\Rightarrow y^2-5\left(\frac{4}{7}y\right)^2=4\Rightarrow-\frac{31}{49}y^2=4\) (Vô lý)
Với \(x=\frac{-1}{3}y\Rightarrow y^2-5\left(-\frac{1}{3}y\right)^2=4\Rightarrow\frac{4}{9}y^2=4\Rightarrow y^2=9\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=3\\y=-3\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=1\end{cases}}}\)
Vậy hệ có các nghiệm là (0; 2) , (0; - 2) , (-1; 3) , (1; -3)
Giải hệ:
{
x^3 - 5x = y^3 + 5y
x^4 + y^2 = 2
}
Từ phương trình
x^4 + y^2 = 2
suy ra
x^4 <= 2
nên
x^2 <= sqrt(2) < 5.
Do đó
x^3 - 5x = x(x^2 - 5)
luôn trái dấu với x.
Còn
y^3 + 5y = y(y^2 + 5)
luôn cùng dấu với y.
Vì
x^3 - 5x = y^3 + 5y
nên hai vế cùng dấu, suy ra x và y phải trái dấu.
Bình phương phương trình đầu:
(x^3 - 5x)^2 = (y^3 + 5y)^2
Suy ra
x^2(x^2 - 5)^2 = y^2(y^2 + 5)^2
Đặt
z = x^2, với 0 <= z <= sqrt(2)
Từ
x^4 + y^2 = 2
ta có
y^2 = 2 - z^2
Thế vào, được:
z(5 - z)^2 = (2 - z^2)(7 - z^2)^2 (1)
Bây giờ xét hai vế của (1) trên đoạn [0; sqrt(2)].
Đặt
f(z) = z(5 - z)^2
g(z) = (2 - z^2)(7 - z^2)^2
Ta có
f'(z) = 3z^2 - 20z + 25
Nghiệm của f'(z) là z = 5/3 và z = 5.
Vì sqrt(2) < 5/3 nên trên [0; sqrt(2)] ta có f'(z) > 0.
Vậy f(z) tăng.
Tiếp theo
g'(z) = -2z(7 - z^2)(11 - 3z^2)
Với 0 < z <= sqrt(2) thì
z > 0,
7 - z^2 > 0,
11 - 3z^2 > 0
nên g'(z) < 0.
Vậy g(z) giảm.
Do một vế tăng, một vế giảm, nên phương trình (1) có nhiều nhất 1 nghiệm.
Mặt khác:
f(1) = 16
g(1) = 36
nên f(1) < g(1)
f(1,2) = 1,2 . (3,8)^2 = 17,328
g(1,2) = (2 - 1,44)(7 - 1,44)^2 = 0,56 . 5,56^2 = 17,311616
nên f(1,2) > g(1,2)
Vậy phương trình (1) có đúng 1 nghiệm z thuộc (1; 1,2).
Dùng tính gần đúng, ta được
z = x^2 ≈ 1,19982656
Suy ra
x ≈ +-1,09536595
Lại có
y^2 = 2 - z^2 ≈ 0,56041623
nên
|y| ≈ 0,74860953
Vì x và y trái dấu nên ta được 2 nghiệm:
(x; y) ≈ (1,09536595; -0,74860953)
(x; y) ≈ (-1,09536595; 0,74860953)
Kiểm tra lại:
Nếu x ≈ 1,09536595 và y ≈ -0,74860953 thì
x^4 + y^2 ≈ 2
và
x^3 - 5x ≈ y^3 + 5y
Vậy kết luận cuối cùng là:
Hệ có đúng 2 nghiệm thực gần đúng:
(x; y) ≈ (1,09536595; -0,74860953)
(x; y) ≈ (-1,09536595; 0,74860953)